HDU 5950 Recursive sequence

T组数据，每次给你 n A B 三个数字。

f[1] = A , f[2] = B , f[n] = 2 * f[n-2] + f[n-1] + n^4

思路：啊啊啊啊啊矩阵快速幂一定先要去构造单位矩阵

式子1 : f[i] = 2 * f[i - 2] + f[i - 1] + i ^ 4

式子2 : f[i + 1] = 2 * f[i - 1] + f[i] + (i + 1) ^ 4

把(i + 1)^4 用二项式定理展开 (i + 1) ^ 4 = i ^ 4 + 4 * i ^ 3 + 6 * i ^ 2 + 4 * i + 1

然后把式子1写成式子2的样子

式子3 ： f[i] = 2 * f[i - 2] + f[i - 1] + i ^ 4 + 0 * i ^ 3 + 0 * i ^ 2 + 0 * i + 0 *1

也就是说 f[i+1] 只的(i+1)的4次方可以通过 i^3， i^2， i^1， 1 构造出来。

则 f[3] = 2 * f[1] + f[2] + 3^4 而3^4可以写成 (2 + 1)^4 = 1 * 2^4 + 4* i^3 + 6 * i^2 + 4 * i + 1

^ - ^ 然后xjb构造矩阵吧

$\begin{pmatrix} f2 & f1 & { 2 }^{ 4 } & { 2 }^{ 3 } & { 2 }^{ 2 } & { 2 }^{ 1 } & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\quad =\quad \begin{pmatrix} f2+2f1+{ 3 }^{ 4 } & f2 & { 3 }^{ 4 } & { 3 }^{ 3 } & { 3 }^{ 2 } & { 3 }^{ 1 } & 1 \end{pmatrix}$

上代码：

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//  HDU5950 - Recursive sequence.cpp
//  数论
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//  Created by Terry on 2018/9/29.
//  Copyright © 2018年 Terry. All rights reserved.
//#include <stdio.h>
typedef long long LL;
long long read(){long long x = 0, f = 1;char ch=getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch=='-') f = -1; ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}return x * f;
}
const int maxn = 7;
const long long mod = 2147493647;
struct Matrix{long long m[maxn][maxn];
}unit;
Matrix operator * (Matrix a, Matrix b){Matrix ret;LL x;int n = 7;for(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){x = 0;for(int k = 0; k < n; ++k){x += ((LL)a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;}ret.m[i][j] = (x) % mod;}}return ret;
}
void init_unit(){// 单位矩阵for(int i = 0; i < maxn; ++i){unit.m[i][i] = 1;}
}
Matrix pow_mat(Matrix a, LL n){Matrix ans = unit;while (n) {if(n & 1){ans = ans * a;}a = a * a;n >>= 1;}return ans;
}
int main(){// 初始化单位矩阵init_unit();LL T = read();while (T--) {LL n = read();Matrix ans, a;LL A = read();LL B = read();if(n == 1){printf("%lld\n", A);}else if(n == 2){printf("%lld\n", B);}else{ans.m[0][0] = B; ans.m[0][1] = A; ans.m[0][2] = 16; ans.m[0][3] = 8; ans.m[0][4] = 4; ans.m[0][5] = 2; ans.m[0][6] = 1;a.m[0][0]=1; a.m[0][1]=1; a.m[0][2]=0; a.m[0][3]=0; a.m[0][4]=0; a.m[0][5]=0; a.m[0][6]=0;a.m[1][0]=2; a.m[1][1]=0; a.m[1][2]=0; a.m[1][3]=0; a.m[1][4]=0; a.m[1][5]=0; a.m[1][6]=0;a.m[2][0]=1; a.m[2][1]=0; a.m[2][2]=1; a.m[2][3]=0; a.m[2][4]=0; a.m[2][5]=0; a.m[2][6]=0;a.m[3][0]=4; a.m[3][1]=0; a.m[3][2]=4; a.m[3][3]=1; a.m[3][4]=0; a.m[3][5]=0; a.m[3][6]=0;a.m[4][0]=6; a.m[4][1]=0; a.m[4][2]=6; a.m[4][3]=3; a.m[4][4]=1; a.m[4][5]=0; a.m[4][6]=0;a.m[5][0]=4; a.m[5][1]=0; a.m[5][2]=4; a.m[5][3]=3; a.m[5][4]=2; a.m[5][5]=1; a.m[5][6]=0;a.m[6][0]=1; a.m[6][1]=0; a.m[6][2]=1; a.m[6][3]=1; a.m[6][4]=1; a.m[6][5]=1; a.m[6][6]=1;a = pow_mat(a, n - 2);ans = ans * a;printf("%lld\n", ans.m[0][0] % mod);}}return 0;
}

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