数据结构/图论：最小路径问题

一、问题描述及分类

最短路问题( short- path problem)是指若网络中的每条边都有一个数(权)值(长度、成本、时间等)，则找出两节点之间总权值和最小的路径就是最短路问题。
●最短路径问题的分类:
已知全局信息的最短路径问题
已知局部信息的最短路径问题
●最短路径问题的分类:
无权图中最短路径
有权图中的最短路径
含有负边的有权图中的最短路径
●最短路径问题的分类:
单源最短路径
全局最短路径
两点最短路径

二、算法实现

1、Dijkstra算法

解决问题类型：单源最短路径问题
算法思想：最短路径的子路径仍然是最短路径。为了求出最短路径，该算法是以最短路径长度递增，逐次生成最短路径。
（1）路径长度最短的最短路径的特点：
在这条路径上，必定只含一条弧，并且这条弧的权值最小。
（2）下一条路径长度次短的最短路径的特点：
它只可能有两种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条弧);或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)。
（3）再下一条路径长度次短的最短路径的特点：
它可能有三种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条弧);或者是从源点经过顶点V1，再到达该顶点(由两条弧组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点。
（4）其余最短路径的特点:
它或者是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过已求得最短路径的顶点。再到达该顶点。

伪代码实现：

// Compute shortest path distances from s,
// return them in D
void Dijkstra(Graph* G,int* D,int s)
{//对图G求从s出发到其他顶点的最短距离int i,v,w;for(i=0;i<G->n();i++){ // Do verticesv=minVertex(G,D);// 取目前未访问的距离最短的顶点if(D[v]==INFINITY) return;//不可达顶点G->setMark(v,VISITED);//加入S集合for (w=G->first(v);w<G->n();w= G->next(v,w))if(D[w]>(D[v]+G->weight(v,w)))D[w]=D[v]+G->weight(v,w);//若从源至W的路径经过V的距离更短，则更新最短距离}
}

minVertex函数：

// Find min cost vertex寻找未访问的最短距离顶点
int minVertex(Graph* G,int* D)
{int i,V;// Set v to an unvisited vertexfor(i=0;i<G->n();i++)if(G->getMark(i)==UNVISITED){v=i;break;}// Now find smallest D va luefor(i++;i<G->n0;i++)if((G->getMark(i)==UNVISITED)&&(i<D[v1]))v=i;return V;
}

优先队列实现的算法：

void Dijkstra(Graph* G, int* D, ints)
{int i, v, w;// v is current vertexDijkElem temp;DijkElem E[G->e0]; // Heap arraytemp.distance=0;temp.vertex=s;E[0]=temp; // Initialize heap arrayminheap<DijkElem,DDComp> H(E,1,G->e0);for(i=0;i<G->n();i++){// Get distancesdo{if(H.size()==0) return;//无数据可删除temp=H.removefirst();//取出第一一个元素，即最短距离V=temp.vertex;} while(G->getMark(v)==VISITED);G->setMark(v,VISITED);if(D[v]==INFINITY) return;//不可达顶点for(w=G->first(V);w<G->n();w=G->next(v,w))if (D[w]>(D[v]+G->weight(v, w)){// 更新DD[w]=D[v]+G->weight(v,w);temp.distance=D[w];temp.vertex=w;H.insert(temp); // Insert in heap}
}

注意：Djkstra算法只适合非负权值的图。

2、Bellman-Ford算法

解决问题类型：单源最短路径问题
算法思想：构造一个最短路径长度数组序列dist1 [u]，dist2 [u]，…，dist n-1 [u]。其中， dist1 [u]是从源点v到终点u的只经过一条边的最短路径的长度，dist1 [u] = Edge[v][u]；dist2 [u] 是从源点v最多经过两条边到达终点u的最短路径的长度，dist3 [u]是从源点v出发最多经过不构成带负长度边回路的三条边到达终点u的最短路径的长度，…，dist n-1 [u]是从源点v出发最多经过不构成带负长度边回路的n-1条边到达终点u 的最短路径的长度。
设已经求出distk1[i],j=0, 1,…n-1,此即从源点v最多经过不构成带负长度边回路的k-1条边到达终点j的最短路径的长度。
从图的邻接矩阵中可以找到各个顶点j到达顶点u的距离Edge[j][u],计算min {dist k-1 [j] + Edge[j][u]},可得从源点v绕过各个顶点，最多经过不构成带负长度边回路的k条边到达终点u的最短路径的长度。
用它与dist k-1 [u]比较，取小者作为dist k [u]的值。

伪代码实现：

void Graph::BellmanFord ( const int n, const int v )
{//在带权有向图中有的边具有负的权值。从顶点V找到所有其它顶点的最短路径for( int i=0;i<n;i++ ){dist[i]=Edge[v][i];if(i!=v&&dist[i]<MAXINT)path[i]=V;else path[i]=-1;}for(int k=2;k<n;k++)for(int u=0;u<n;u++)if(u!=v)for(i=0;i<n;i++ )if(Edge[i][u]>0 && Edge[i][u]<MAXINT && dist[u]>dist[i]+Edge[i][u]){dist[u]=dist[i]+Edge[i][u];path[u]=i;}
}

注意：Bellman-Ford算法适合负权值的图。

3、Floyd 算法

解决问题类型：全源最短路径问题
算法思想：
（1）定义k-path为任意一条从顶点v到u的，中间顶点序号小于k的路径。 0-path即为直接地从v到u的边。
（2）定义Dk(v, u)为从v到u的最小的k-path的长度
（3）假设已知从v到u的最短k-path path,则最短的(k+1)-path经过，或不经过顶点k ：
如果它经过顶点k，则最短(k+1)-path 的一部分是从v到k的最短k-path，另一部分是从k到u的最短k-path。
否则，保持其值为最短k-path不变。

伪代码实现：

//Floyd's all-pairs shortest paths algorithm
void Floyd(Graph* G)
{int D[G->n()][G->n()]; // Store distancesfor(int i=0;i<G->n();i++) // Initializefor(int j=0;j<G->n();j++)D[i][j]=G->weight(i,j); // Compute all k pathsfor(int k=0;k<G->n();k++)for(int i=0;i<G->n();i++)for(int j=0;j<G->n();j++)if(D[i][j]>(D[i][k]+D[k][j]))D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];
}

注意：Floyd算法也适合负权值的图。