平衡二叉查找树

平衡二叉查找树的严格定义：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于1。

设计平衡二叉查找树的初衷：为了解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下（尤其是插入的一组数据是有序的情况），出现时间复杂度退化的问题。

但是在实际的开发中，并不能完全严格的按照定义去做，只要保证平衡即可，也就是让整棵树左右看起来比较对称、比较平衡、更新数据时不要造成一边很高、一边又很低的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些（如树的高度是对数量级的，不必log2n大很多）。只要能保证这样，就可以说它是一个合格的平衡二叉查找树。

平衡二叉查找树-红黑树(R-B Tree)

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。并且要求：

• 1. 每个节点不是黑色就是红色，根节点必须是黑色的（可以在节点数据结构中加一个数据字段代表颜色）；
• 1. 每个叶子节点都是黑色的空节点（nil）（为了保证除了根以外，每个节点都有兄弟节点，也就是每个父节点都有两个叉），也就是说叶子节点不存储数据；
• 1. 任何相邻（线连着）的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；
• 1. 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（说明黑色节点是要成对出现的，否则失去平衡了）。

为什么说红黑树是“近似平衡的”

近似平衡就是说查找等动态更新的性能不会退化太严重。

二叉查找树很多操作的性能都很树的高度成正比，因此只要证明红黑树的高度能比较稳定的趋近log2n就好。

去掉红色节点的黑色节点（无父节点则祖父节点代替，这样防止原本黑色节点的高度发生改变）可能变成3叉树/4叉树。他们要比相同节点数相同的完全二叉树的高度要小，所以它的高度不超过log2n。

而红色节点必须是被黑色节点隔开的，一红一黑，因此红色节点加回去，树的高度应该不大于2log2n。高度仅是大了一倍，性能上下降不多，可以近似O(logn)。

同时红黑树是近似平衡，因此维护平衡的成本较低，性能比较稳定。对于工程应用来说，要面对各种异常情况，稳定性很重要，因此红黑树的应用范围较广。

动态数据结构

动态数据结构是指支持动态的更新操作，里面存储的数据是时刻在变化的，它支持查询、删除、插入等操作，并且这些操作是非常高效。这样的数据结构才能算作动态数据结构。

如何维护红黑树的近似平衡

红黑树规定插入的节点必须是红色的且在修改过程中不能改变颜色，因为插入红色节点比黑色节点违背规则的可能性更小。插入黑色节点一定会改变黑色高度（违背规则4），而插入红色只有一半机会违背规则3。且3比4更易修正。

当插入一个新节点（二叉查找树插入新节点会插到叶子节点上，那么在红黑树上也就是插入到黑色空节点上层了）就可能会破坏红黑树原本结构，打破平衡，那么如何修正呢？

主要有三种方式：改变节点颜色、左旋、右旋。

1. 变色 假设原本只有节点E，然后插入了节点A和S，再插入F：

2. 左旋 通常左旋操作用于将一个向右倾斜的红色链接转为向左链接。

   动图效果：

3. 左旋

动图效果：

红黑树的操作

1. 节点数据

typedef struct TreeNode {int key;struct TreeNode *left;struct TreeNode *right;struct TreeNode *father; // 双向链表BOOL color;} Node;
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1. 左旋的实现

/** 左旋示意图：对节点x进行左旋*     p                       p*    /                       /*   x                       y*  / \                     / \* lx  y      ----->       x  ry*    / \                 / \*   ly ry               lx ly* 左旋做了三件事：* 1. 将y的左子节点赋给x的右子节点,并将x赋给y左子节点的父节点(y左子节点非空时)* 2. 将x的父节点p(非空时)赋给y的父节点，同时更新p的子节点为y(左或右)* 3. 将y的左子节点设为x，将x的父节点设为y*/
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1. 右旋的实现

/** 左旋示意图：对节点y进行右旋*        p                   p*       /                   /*      y                   x*     / \                 / \*    x  ry   ----->      lx  y*   / \                     / \* lx  rx                   rx ry* 右旋做了三件事：* 1. 将x的右子节点赋给y的左子节点,并将y赋给x右子节点的父节点(x右子节点非空时)* 2. 将y的父节点p(非空时)赋给x的父节点，同时更新p的子节点为x(左或右)* 3. 将x的右子节点设为y，将y的父节点设为x*/
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1. 插入操作

• 如果第一次插入，原本树是空的，则只需要将它涂黑即可。
• 如果最终插入后，插入节点的父节点是黑色的，则不违反红黑树规则，不需改变。
• 如果最终插入后，插入节点的父节点是红色的，就违反规则了，需要修改保持树的平衡了。此时又有三种情况：
  • ①插入节点的父节点和其叔叔节点（祖父节点的另一个子节点）均为红色的；
  • ②插入节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且插入节点是其父节点的右子节点；
  • ③插入节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且插入节点是其父节点的左子节点。

具体过程为例： 插入新节点4，如图1（也就是情况①）。此时违反3，因此将它的父节点涂黑，但是如果只涂5，就会造成黑色节点不平衡了，违反了4。因此新节点的父节点5和叔叔节点8都要涂黑。这时758都是黑色（黑色太多了？）将祖父7涂红。这时又变成情况②，把7当做新节点 ，以新节点 为支点做左旋操作。如图2->3。此时27节点仍有问题继续修改，此时那2作为新节点，将父节点7涂黑，祖父节点11涂红。在以11为支点右旋。这样整棵树就又平衡。

从上面的步骤可以看出，如果插入数据最终是情况1，则需要走完2、3步骤；如果插入数据出现的是情况2，则只需走完3；插入后是3，则完成3即可了。

总体：变色->左旋->右旋

资料