无穷级数判敛方法使用限制

@(微积分)

特别看一道题目。

下列命题正确的是：
A. 若un<vn(n=1,2,3,...)u_n ，则∑∞n=1un≤∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty u_n \leq \sum_{n=1}^\infty v_n

分析：看着太想选了，但是这里只是说两个通项的大小比较，如果部分和是无穷大了，就没法比较了！

B. 若un<vn(n=1,2,3,...)u_n ，则且∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty v_n收敛，则∑∞n=1un\sum_{n=1}^\infty u_n收敛。

分析：这也是非常想选择的一项。用什么可以阻挡冲动。。这里，没有限定两个级数是正项级数，就用正项级数的判别方法，太不把正项级数这个条件不当回事了。
举个例子驳斥一下，un=−1n<vn=1n2u_n = -\frac{1}{n} \lt v_n = \frac{1}{n^2}
满足题干条件，但是∑∞n=1un\sum_{n=1}^\infty u_n妥妥的发散。

C. 若limn→∞unvn=1\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n} = 1,且∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty v_n收敛，则∑∞n=1un\sum_{n=1}^\infty u_n收敛。

分析：也是不拿正项级数这个条件当回事，直接用正项级数的判别方法，肯定可以找到反例。
比如：

∑∞n=1(−1)n1n√+1n\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{\sqrt n} + \frac{1}{n}

与

∑∞n=1(−1)n1n√\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{\sqrt n}

D. 若wn<un<vn(n=1,2,...)w_n ,且∑∞n=1wn与∑∞n=1vn\sum_{n=1}^\infty w_n与\sum_{n=1}^\infty v_n收敛，则∑∞n=1un\sum_{n=1}^\infty u_n收敛。

分析：这个是介于两个收敛级数之间，必然是收敛的。

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