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Schur补与矩阵打洞

考虑正态随机向量

，求

条件分布的一个类似于线性回归的常用技巧是——寻找常值矩阵

适合

；对于正态变量而言独立等价于不相关，因而只需

为零，即

；此时

，从而立得

。形式化上述过程如下：

• 设分块矩阵
  的子矩阵
  可逆，将

  Schur补记为

  ；
• [打洞技巧^[1]]
  ；
  ；
  。
• 易得推论[Guttman]
  ；考虑
  可得

  Frobenius不等式

  。

另证：注意到

是良定义的

单同态。

• 对方阵成立
  ；考虑
  可得
  ，进而有

  Sylvester行列式定理

  。
• 进一步假设
  是Hermite矩阵，特征值为
  ，

  惯性指数记为

  ，其中

• [Haynsworth惯性加法公式] 注意
  可逆，惯性指数在合同变换下保持不变，即得
  。
• 特别地，
  正定

  当且仅当

  与
  正定。

Sherman–Morrison–Woodbury求逆公式

设

可逆(

)，

，考虑低秩扰动

后逆矩阵的更新

^[2]，有Woodbury公式

，这里假设了

可逆；当

时，

称为

Sherman–Morrison公式。

证明：对

打洞，分别化为

和

，求逆可得

• [注] 我们还得到了分块矩阵求逆公式
  。

另证：可以利用巧妙的恒等式

记忆花招^[3]：

，

。

直接计算可得

• [习题] 设
  和
  均为正定矩阵, 则
  (半)正定

  当且仅当

  (半)正定.

分块半正定矩阵与行列式(不)等式

• [Fischer不等式] 设
  是半正定矩阵，则
  。

证明：若

正定，则

和

正定，由Brunn-Minkowski不等式的推论可得

，而

。若

半正定，在

中令

即证。

• [华罗庚] 设
  ，则
  ；若
  小于等于(严格小于)
  ，则称
  为

  压缩(严格压缩)算子，对于严格压缩算子有

  。
• 由Brunn-Minkowski不等式的推论可得
  ；对于压缩算子有
  。

证明：令

，则

。应用前述分块矩阵求逆公式，对于非奇异情形有

，进而

得到

，即

；一般情形通过连续性论证易得。对于压缩算子，考虑

，同理可证。

参考

1. ^孟道骥, & 王立云. (2006). 打洞技巧. 高等数学研究, 9(4): 15-19. http://qikan.cqvip.com/Qikan/Article/Detail?id=22377003
2. ^W. W. Hager (1989). Updating the inverse of a matrix. SIAM review, 31(2): 221-239. https://doi.org/10.1137/1031049
3. ^In a ring, 1−ab is invertible ⟹ 1−ba is invertible (from scratch) https://math.stackexchange.com/q/2341289/469791