质数——埃式筛法和欧式筛法

埃氏筛法原理

素数的定义：素数就是除了1和本身之外没有其他的约数，所以有约数的都不是素数。

埃氏筛法的思想就是：先去掉2的倍数，再去掉3的倍数，再去掉4的倍数，……依此类推，直到最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数。时间复杂度：O(nloglogn)
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10000000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
bool a[maxn+5];
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);memset(a,true,sizeof(a));for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i]){for(int j=2;i*j<=n;j++)a[i*j]=false;}}a[1]=false;int t;while(m--){scanf("%d",&t);if(a[t])printf("Yes\n");else printf("No\n");}return 0;
}

欧拉筛法

在埃式筛法中，存在有些数存在重复筛的情况，如：385这个数，385= 5 * 7* 11，会被5的倍数时标记一次，7的倍数时标记一次，11的倍数时标记一次，造成效率达不到最优。而线性筛法基于改进这个不足的基础上，在线性时间内，也就是O(n)，用筛选的方法把素数找出来。

 核心原理：对于每个合数，都只由它最小的质因子筛掉。 比如：（假定：ans[]数组中存放着已经确定的素数）合数 i = p（最小素因子）* a;  若 i%ans[j] ==0; 则 i * ans[j+1] =  p * a * ans[j+1] 可以被后面的 a * ans[j+1] 再乘以素数 p 筛选出来，(显而p<ans[j+1]） 所以i%ans[j] == 0 时要停止。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10000000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
bool a[maxn+5];
int b[maxn+5];//存储质数
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);memset(a,true,sizeof(a));a[1]=false;int k=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i])   //如果i为质数b[k++]=i;//存上for(int j=1;j<=k&&i*b[j]<=n;j++){a[i*b[j]]=false;if(i%b[j]==0)break;}}int t;while(m--){scanf("%d",&t);if(a[t])printf("Yes\n");else printf("No\n");}return 0;
}

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