文章简介

本文记录寻找素数的几种算法, 本文中的O()没有指明默认表示时间复杂度
代码使用Java

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正文
- 穷举计数法(判断O(n))
- - 优化: 布尔+break(判断小于O(n))
  - 优化: 利用数学推导缩小除数范围(判断O(n\sqrt{n}n))
  - - 引申
  - 引申-素数的分布
- 埃氏筛选法(整体O(nloglogn))
- - 空间与时间复杂度的优化
- 欧氏筛法(整体O(n), 线性筛)
- 后记

正文

素数/质数, 一个只可以被1和它本身整除的数, 换句话说, 不能被比他小的任意两个整数的乘积表示的数字.

打印1~n之间素数, 一直是一个入门级别的算法, 在学习编程思想的时候会出现在各种题里,
文中n取100, 打印结果都为:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

我们最开始写的可能是这样的

穷举计数法(判断O(n))

 /*** 打印1到n间的所有素数, 包括n.** @param n 查找到n*/static void printPrimeNumber(int n) {for (int i = 1; i < n + 1; i++) {/*这个循环遍历1~n的所有数字i*//*一个被整除次数的标志位, 如果为2, 只被1和它本身整除了, 是素数, 其它>2的值就证明不是素数*/int divided = 0;for (int j = i; j >= 1; j--) {/*这个循环遍历1~i的所有数字, 如果能被整除, "能被整除"计数器+1 */if (i % j == 0) {divided++;}}if (divided == 2) {/*如上所述, 该数是素数*/System.out.print(i + " ");}}}

n=1000时,一百次平均用时10.76ms

优化: 布尔+break(判断小于O(n))

 /*** 打印1到n间的所有素数, 包括n.** @param n 查找到n*/static void printPrimeNumberPro(int n) {/*for (int i = 1; i < n+1; i++) {*//* 1不是素数, 可以直接跳过*/for (int i = 2; i < n + 1; i++) {/*int divided = 0;*//*本质上, 判定一个数字是不是素数, 只需要看能不能被n与1以外的数字整除就行了, 利用一个bool量, 再加上break, 不要傻傻计数*/boolean isPrime = true;/*for (int j = i - 1; j > 1; j--) {*//*直觉上, 从小向大而不是从小向大遍历除数, 可以更快判定, 后面给出这点的证明*/for (int j = 2; j < i; j++) {if (i % j == 0) {/*divided++*/isPrime = false;/*break可以减少比较次数*/break;}}if (isPrime) {System.out.print(i + " ");}}}

n=1000时,一百次平均用时6.23ms

优化: 利用数学推导缩小除数范围(判断O(n\sqrt{n}n))

一个数字n可以被整除时, 意味着它可以被除数和商的乘积表示, 设除数为j, 商为k
若:nj=k若: \frac{n}{j}=k\\ 若:jn=k
此时
n=n∗n=j∗k又:j≠k\begin{aligned} n &= \sqrt{n}*\sqrt{n} \\ & = j*k\\\\ 又: j& \neq k \end{aligned} n又:j=n∗n=j∗k=k
假设 j>kj>kj>k 必有
{j>nk<n\begin{aligned} \begin{cases} j > \sqrt{n}& \\ k < \sqrt{n}& \end{cases} \end{aligned} {j>nk<n
那么,有了以上推导, 我们知道每次判断时除数只需要遍历到 ⌊n⌋\lfloor \sqrt{n} \rfloor⌊n⌋ 就可以停止, 这样可以简化空间复杂度到 O(n\sqrt{n}n)

引申

在 n>4n>4n>4时, 有:
n<n2\sqrt{n}<\frac{n}{2}n<2n
这印证了布尔优化一节中, 从前往后遍历会比从后往前遍历更容易找到除数的直觉.

给出这一节的代码

 /*** 打印1到n间的所有素数, 包括n.** @param n 查找到n*/static void printPrimeNumberPlus(int n) {for (int i = 2; i < n + 1; i++) {boolean isPrime = true;/*算一下开根, 让int自然floor */int sqrtI = (int) Math.sqrt(i);for (int j = 2; j <= sqrtI; j++) {if (i % j == 0) {isPrime = false;break;}}if (isPrime) {System.out.print(i + " ");}}}

n=1000时,一百次平均用时4.03ms

引申-素数的分布

根据素数定理, 素数在大数中分布更稀疏. 根据高斯发现的简介公式, 不大于n的整数中素数个数约为:
nln⁡n个\frac{n}{\ln{n}}个 lnnn个

埃氏筛选法(整体O(nloglogn))

这种方法本质上还是遍历, 只不过对遍历范围进行了进一步的简化, 一边遍历一边减少后续需要的操作.
埃氏方法由古希腊数学家埃拉托色尼发明, 思路要点其实就是一句话

素数的倍数都不是素数

这句话很简单, 但是用起来很神奇, 比如2就是一个最小的素数, 而它的倍数, 也就是>2的所有偶数都可以不用比较.

不过, 这种方法只是用来在范围内筛选素数, 而不是判定一个数字是不是素数.

简单的实现如:

 /*** 打印1到n间的所有素数, 包括n.** @param n 查找到n*/static void printPrimeNumberMax(int n) {/*准备好初值为0的数组, 数组下标对应数字, 数组内容对应是否为素数, 1不是, 0是*/int[] nums = new int[n + 1];/*先标记去掉0,1*/nums[0] = 1;nums[1] = 1;/*开始进行筛选, 不用判定, 只要没被标记直接加 */for (int i = 2; i < n + 1; i++) {if (nums[i] != 1) {/*为1时这个数字已经被标记为素数了, 直接跳过, 只看!=1的*/System.out.print(i + " ");/*方法的核心, 当找到任意素数时, 把所有该素数的倍数标记为非素数*/int index = i + i;while (index < n + 1) {nums[index] = 1;index += i;}}}}

n=1000时,一百次平均用时3.95ms

空间与时间复杂度的优化

上面例子中, 使用int数组的值0或1来标记当前下标对应的元素是否为素数, 不如直接简化为使用布尔量数组, 毕竟一个布尔型变量只占用1bit, 而int占用足足32bit.
一个很有意思的点在这个加号

假如此时i==7
这里的代码要开始依次标记范围内的2*7,3*7,4*7,5*7,6*7,7*7,8*7....等数字
你也许注意到了, 2*7已经作为2的倍数被2标记过一次
3*7作为3的倍数被标记过
4*7.
...
一直到7*7才开始是需要标记的值, 所以箭头位置的加号应该简化为乘号

 /*** 打印1到n间的所有素数, 包括n.** @param n 查找到n*/static void printPrimeNumberMaxSlim(int n) {/*数组下标对应数字, 数组内容对应是否为合数, false是初值表示是素数(不是合数), true表示是合数*/boolean[] nums = new boolean[n + 1];/*先标记去掉0,1*/nums[0] = true;nums[1] = true;for (int i = 2; i < nums.length; i++) {if (!nums[i]) {System.out.print(i + " ");/*减少标记: 从i*i开始*/int index = i * i;while (index < nums.length) {nums[index] = true;index += i;}}}}

欧氏筛法(整体O(n), 线性筛)

回到上面埃氏筛法的动态图, 注意观察12, 24,105等颜色, 你会注意到, 他们被标记了不止一次, 这是因为即使从i2i^2i2开始做筛选, 类似2∗6=122*6=122∗6=12和3∗4=123*4=123∗4=12这种可以由多组合数乘积得到到数字有被重复标记的可能. 而每次重复标记也是对性能的浪费.

这些浪费可以被欧氏筛法避免.
欧氏筛法的核心思想是只每个数字只由它的最小质因子标记

给出代码:

 /*** 打印1到n间的所有素数, 包括n.** @param n 查找到n*/static void printPrimeNumberMaxDulex(int n) {/*数组下标对应数字, 数组内容对应是否为合数, false是初值表示是素数(不是合数), true表示是合数*//*为了方便有序随机存取, 这里还是用数组存储, 根据上面的高斯分布表格, 这里的数组大小取1.2倍的高斯估计*//*新建数组, 比起上面的函数似乎新增了空间复杂度, 但实际上正常使用寻找素数的方法时, 往往需要这个数组来存储找到的素数, 只不过以往都是直接输出了*/int[] primeNumber = new int[(int) (1.2 * n / Math.log(n))];int indexForPrimeNumber = 0;boolean[] nums = new boolean[n + 1];/*现标记去掉0,1*/nums[0] = true;nums[1] = true;for (int i = 2; i < n + 1; i++) {if (!nums[i]) {/*输出非素数*/primeNumber[indexForPrimeNumber] = i;indexForPrimeNumber++;System.out.print(i + " ");}/*欧氏筛法: 标记任意数i的 已输出的素数倍 数字 , 直到i可以被其中一个素数整除(碰到了它的最小质因子)*/for (int prime : primeNumber) {if (i * prime > n) {/*超过范围, 停止标记*/break;}/*标记i的素数倍数字*/nums[i * prime] = true;if (i % prime == 0) {/*标记到它的最小质因子为止*/break;}}}}

具体的时间复杂度计算请参考站内@seh_sjij-【算法/数论】欧拉筛法详解：过程详述、正确性证明、复杂度证明

后记

本来只是想找一找和寻找素数有关的算法, 没想到越看越深, 筛法是一个很大的领域, 在欧氏筛法之上, 好像还有min_25筛法等其它筛法, 而埃氏筛法还有一种只标记前n\sqrt{n}n的优化, 这篇博客花了过多时间, 等后续有空了再回过头来把埃氏的优化补全了. 以上

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【算法学习】找素数的几种算法: 简单穷举, 埃氏筛法, 欧氏筛法, 从O(n2)到O(n)

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正文

穷举计数法(判断O(n))

优化: 布尔+break(判断小于O(n))

优化: 利用数学推导缩小除数范围(判断O(n\sqrt{n}n))

引申

引申-素数的分布

埃氏筛选法(整体O(nloglogn))

空间与时间复杂度的优化

欧氏筛法(整体O(n), 线性筛)

后记

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穷举计数法(判断O(n))

优化: 布尔+break(判断 小于O(n))

优化: 利用数学推导缩小除数范围(判断O(n\sqrt{n}n​))

引申

引申-素数的分布

埃氏筛选法(整体O(nloglogn))

空间与时间复杂度的优化

欧氏筛法(整体O(n), 线性筛)

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