动态规划经典题之编辑距离
文章目录
- 题目
- 解题思路
- (1)基本过程
- (2)动态规划-递归
- (3)动态规划-dp table
- 代码
题目
leetCode72:编辑距离
编辑距离算法是一个非常实用的算法,它的作用是求出把一个字符串s1变为另一个字符串s2所需要的最少的操作数。
此过程中,只能对字符串进行插入、删除或替换(其实还有一种隐形操作,就是略过)
比如把rad
变为apple
,就需要经过5步
解题思路
(1)基本过程
对于字符串类的题目,一般都会使用到两个指针,这里面也不例外。上面的动图中,展现的正是两个指针i和j分别从后向前扫描两个字符串。
在这个过程中如果j走完了,i还没有走完的话,那么就需要把s1删除,缩短为s2单
如果i走完了,但j没有走完,那么就想要把s2中的插入到s1中
(2)动态规划-递归
使用动态规划解题,一定要考虑题目的状态和选择是什么?
- 状态:这里显然是i和j指针的位置
- 选择:所选的操作,加上跳过,共有四种操作(
skip,insert,delete,replace
)
if s1[i]==s2[j]skip;
elseinsert or delete or relace;
还有“base case”,也就是最简单的情况是什么呢?这里其实就是上面所叙述的那两种情况
首先采用递归解法说明。定义一个dp递归函数,函数形参分别就是i
和j
,该函数的返回值就是s1[0....i]
和s2[0...j]
的最小编辑距离,最终一步一步递归,可以得到问题的最终答案。
现在看该函数的base case,也就是如果j
走完了,就把i
删除了;如果i
走完了,就把j
剩下的全部插入
int dp(i,j)
{if i==-1return j+1;if j==-1return i+1;
}
如果遇到的字符相等,那么就什么也不做,直接跳过。也即是说s1[0....i]
和s2[0....j]
的最小编辑距离实际就是s1[0...i-1]
和s2[0....j-1]
的最小编辑距离。
int dp(i,j)
{if i==-1return j+1;if j==-1return i+1;if(s1[i]==s[j])return dp[i-1][j-1];else}
如果遇到的字符不相等,那么我们就需要进行选择三种操作了。需要注意的是三种操作是肯定存在重叠问题,这也是递归不可避免的问题,因为一个字符变成另一个字符除了可以替换外,我也可以直接插入一个。
第一种操作:插入;递归函数为
dp(i,j-1)+1
。如果选择了这种操作,那么就会直接在s1[i]
中插入一个和s2[j]
一样的字符,此时s2[j]
会被匹配到。注意操作数+1
第二种操作:删除;递归函数为
dp(i-1,j)+1
。如果选择了这种操作,那么就会直接把s[i]这个字符删除掉。
第三种操作:替换;递归函数为
dp(i-1,j-1)+1
。如果选择了这种操作就会直接把s1[i]
替换为s2[j]
。
于是伪代码如下
int dp(i,j)
{if i==-1return j+1;if j==-1return i+1;if(s1[i]==s[j])return dp[i-1][j-1];elsereturn min(dp(i,j-1)+1;//插入dp(i-1,j)+1;//删除dp(i-1,j-1)+1;//替换)
}
还是那句话,这种解法一定存在大量重叠子问题。比如能过替换得到的结果也可以通过删除后插入完成,这就是一条重复路径,如果发现了一定重复问题,那么一定会有千千万万个重复问题,就像斐波那契数列一样。而重叠子问题是可以通过备忘录解决的
memo=dict();
int dp(i,j)
{if((i,j) in memo)return memo[(i,j)];if i==-1return j+1;if j==-1return i+1;if(s1[i]==s[j])return dp[i-1][j-1];elsereturn min(dp(i,j-1)+1;//插入dp(i-1,j)+1;//删除dp(i-1,j-1)+1;//替换)
}
(3)动态规划-dp table
递归便于说明问题的解决思路,实际写代码时我们一般采用的还是自底向上的解法,也就是动态规划数组。有了上面的基础,我们很容易能够理解,和公共子串,子序列那些题一样**,这道题的数组也一定是一个二维数组**
其中dp[…][0]和dp[0][…]对应的就是base case(也即是把rad变成空串,那么需要3步),dp[i][j]存储的是s1[0…i-1]和s2[0…j-1]的最小编辑距离。(dp函数的base case是i和j为-1,但是数组索引至少为0,所以要偏移1位)
代码
class Solution {public:int minDistance(string word1, string word2) {int len1=word1.size();int len2=word2.size();vector<vector<int>> dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));//dp数组for(int i=1;i<=len1;i++)//base casedp[i][0]=i;for(int j=1;j<=len2;j++)dp[0][j]=j;for(int i=1;i<=len1;i++){for(int j=1;j<=len2;j++){if(word1[i-1]==word2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1];elsedp[i][j]=min//min函数只有两个形参,所以这样写(dp[i-1][j]+1,//插入min(dp[i][j-1]+1,//删除dp[i-1][j-1]+1)//替换);}}return dp[len1][len2];}
};
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