点到曲线的距离_如何从“圆锥”曲线到圆锥曲线

文章介绍

全文配图，便于理解，严谨推导放在最后。

提前说明关键步骤：

推导第一定义时：将两条焦半径利用切线长定理转换为到圆锥面两点距离。

推导第二定义时：将焦半径和到准线的距离利用垂直条件转化成圆锥轴线长。

文章分为六个部分：

一、圆锥曲线，圆锥曲线的定义。

二、圆锥曲线的第一定义与“圆锥”曲线。

三、圆锥曲线的第二定义与“圆锥曲线。

四、圆锥曲线的一般性质。

五、上述一~四的过程推导。

一、圆锥曲线^[1]

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线，在笛卡尔坐标系中全部为二次曲线。

图1-1

所截圆锥曲线是抛物线、椭圆还是双曲线可由离心率

判断，具体可看

第五部分性质1以及第六部分第二节离心率分析。

二、第一定义

1、抛物线

由第五部分性质1知，当

时，所截图形为抛物线，在空间中找到公切球（参考第五部分第3节-

寻找公切球）。

圆锥的顶点设为

，此时仅有一个公切球，设球心为

,记为球

，与截面交点为

，与圆锥的交线设为圆

，在椭圆上任取一点

，

与

的交点设为

。

图2-1-1

图2-1-2

后续归于第三部分，统一证明。

2、椭圆

设圆锥顶点为

，

。

找到两个公切球，球心分别设为

，记为

与截面的切点分别为

，与圆锥的交线设为圆

。

在椭圆上任取一点

，连接直线

交

于

。

图2-2-1

图2-2-2 再xOy平面的投影

图2-2-3

3、双曲线

设圆锥顶点为

。

找到两个公切球,球心分别设为

,记为球

,球

与截面的切点分别为

，与圆锥的交线设为圆

。

在双曲线上任取一点

，连接直线

交

于

。

图2-3-1

三、第二定义

这一部分的点很多，但是清楚其中的重要步骤就很好理解：

将有关边全部和圆锥轴线上的长度联系起来

以椭圆为例，设靠近原点的焦点为

。

电脑突然黑屏，保存下来得只有这一张了

1、过

点作圆锥轴线的法平面交圆锥于圆

,这样就有了

这样就得到了

在轴线上的投影长度

。

2、其对应公切球为球

,球

与圆锥公切线为圆

圆

所在平面与

平面的交线为

（这就是第二定义中的准线），

交

轴于

。

平面内

交

于点

，然后设

交

轴于

。

这样四边形

就是一个矩形，点

到准线的距离

又有

轴线与

轴的夹角为

3、由（3-1）以及（3-4），得

这就是圆锥曲线第二定义也就是统一定义得内容。

四、圆锥曲线的性质

性质1 由平面与圆锥所截得到的圆锥曲线的离心率

，其中

为圆锥轴线与截平面法线的夹角，

为圆锥轴线与母线的夹角。

五、证明

1、圆锥曲线是二次曲线^[2]

首先要知道圆锥的方程。

图5-1-1

为圆锥轴线，

为

圆锥与

在

的法截面交线任一点，设

为圆锥母线与轴线的夹角，即

为定值，根据

，当

一定时，我们可以得到圆锥最简单的三维方程：

即

图5-1-2

这就是以原点

为顶点，轴线为

，母线与轴线夹角为

的圆锥。

为了便于观看，我们选择固定平面，旋转圆锥截取圆锥曲线。

取截平面为

平面，圆锥顶点为

，其中

。

 时为退化情况，圆锥与平面仅有以下三种情况：
(a) 仅有交点
(b)交线为一条直线，即  轴
(c)交线为相交于  的两条直线
图略

圆锥方程为

圆锥绕

轴旋转，旋转角度为

，

时为

图5-1-3

最后的旋转效果即为图2-1。

然后在

式中令

得

可以看出方程的最高次项是2次，说明这是二次曲线。

2、离心率分析^[3]

化简

得到一般方程

方程关于

轴对称，不妨设

。

（1）

得到圆，离心率

。

（2）

二次项系数均大于0，为椭圆，半焦距

这样算出离心率

（3）

得到抛物线，离心率

。

（4）

得到双曲线，半焦距

和

相同，这样离心率也和

相同

综上所述，我们可以得出结论：

圆锥曲线的离心率

，其中

为圆锥轴线与截平面法线的夹角，

为圆锥轴线与母线的夹角。

3、寻找公切球

寻找公切球即要找到与截平面相切、在圆锥内部且与圆锥相切的球。

设球心

坐标为

为球心到顶点

的距离。

得

注意到其中

。

(a)当

时，（5-3-1）仅有唯一解，解得

球心坐标为

，半径

。

(b)当

时，（5-3-1）解出

得到这些数据后，我们就可画出(2-1)等图像。

4、计算准线位置

在寻找公切球的过程中，公切球的在

的切点即为焦点坐标

取焦点

。

要验证第二定义还要知道它的准线，根据定义式计算焦准距

所以准线方程为

这与三中利用平面截出的直线是相同的。

参考

^圆锥曲线百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF/6691222?fr=aladdin
^二次曲线？圆锥曲线？画图试试 https://zhuanlan.zhihu.com/p/129034953
^离心率 https://zhuanlan.zhihu.com/p/129034953