Acwing春季每日一题混合牛奶(朴素做法和优化做法)

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题目描述

农业，尤其是生产牛奶，是一个竞争激烈的行业。

Farmer John 发现如果他不在牛奶生产工艺上有所创新，他的乳制品生意可能就会受到重创！

幸运的是，Farmer John 想出了一个好主意。

他的三头获奖的乳牛，Bessie、Elsie 和 Mildred，各自产奶的口味有些许不同，他打算混合这三种牛奶调制出完美的口味。

为了混合这三种不同的牛奶，他拿来三个桶，其中分别装有三头奶牛所产的奶。

这些桶可能有不同的容积，也可能并没有完全装满。

然后他将桶 111 的牛奶倒入桶 222，然后将桶 222 中的牛奶倒入桶 333，然后将桶 333 中的牛奶倒入桶 111，然后再将桶 111 的牛奶倒入桶 222，如此周期性地操作，共计进行 100100100 次（所以第 100100100 次操作会是桶 $1 $倒入桶 222）。

当 Farmer John 将桶 aaa 中的牛奶倒入桶 bbb 时，他会倒出尽可能多的牛奶，直到桶 aaa 被倒空或是桶 bbb 被倒满。

请告诉 Farmer John 当他倒了 100100100 次之后每个桶里将会有多少牛奶。

输入格式

输入文件的第一行包含两个空格分隔的整数：第一个桶的容积 c1c_1c1，以及第一个桶里的牛奶量 m1m_1m1。

第二和第三行类似地包含第二和第三个桶的容积和牛奶量。

输出格式

输出三行，给出倒了 100100100 次之后每个桶里的牛奶量。

数据范围

1≤c1,m1≤109\color{Red}{1≤c_1,m_1≤10^9}1≤c1,m1≤109

输入样例

10 3
11 4
12 5

输出样例

0
10
2

样例解释

在这个例子中，每倒一次之后每个桶里的牛奶量如下：

初始状态：   3  4  5
1. 桶1->2：  0  7  5
2. 桶2->3：  0  0  12
3. 桶3->1：  10 0  2
4. 桶1->2：  0  10 2
5. 桶2->3：  0  0  12
（之后最后三个状态循环出现……）

算法1

(朴素版暴力迭代模拟) O(1)\color{Red}{O(1)}O(1)

读入3个桶的容积和牛奶量
从第一个桶开始idx = 1，则下一个桶next = (idx + 1) % 4 ? idx + 1 : 1
设下一个桶为nextnextnext,则nextnextnext桶的容积为next(v)next(v)next(v),nextnextnext桶的牛奶量为next(w)next(w)next(w),则有

时间复杂度：O(1)O(1)O(1)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;//容积,牛奶量PII a[4];int main()
{for (int i = 1; i <= 3 ; i++ )//读入3个桶的容积和牛奶量{int x, b;scanf("%d%d", &x, &b);a[i] = {x, b};}int idx = 1;//记录一下从第一个桶开始for (int i = 0; i < 100; i ++ )//迭代100次{int next = (idx + 1) % 4 ? idx + 1 : 1;//应该往哪个桶倒idx->nextint v = a[next].first;//查看一下next桶的容积int w = a[next].second;//查看一下next桶的牛奶量if (v == w)//如果next桶的容积等于牛奶量了,说明不需要再倒牛奶了~{}else if (a[idx].second + w <= v)//如果idx桶的牛奶量与next桶的牛奶量要小于next桶的容积{a[next].second = a[idx].second + w;//更新next桶的牛奶量a[idx].second = 0;//idx桶的牛奶量为0}else //如果idx桶的牛奶量与next桶的牛奶量要大于next桶的容积{a[idx].second -= v - w;//更新idx桶的剩余的牛奶量a[next].second = v;//next桶的牛奶量则为其容积}idx = next;//idx桶指向下一个桶(next)}for (int i = 1; i <= 3; i ++ )//输出迭代100次的答案~printf("%d\n", a[i].second);return 0;
}

算法2

(找环进行优化操作)

由我们的样例解释可知

初始状态：   3  4  5
1. 桶1->2：  0  7  5
2. 桶2->3：  0  0  12
3. 桶3->1：  10 0  2
4. 桶1->2：  0  10 2
5. 桶2->3：  0  0  12
（之后最后三个状态循环出现……）

可以找到一个环\color{Red}{环}环，使得只用计算后续经过多少个环\color{Red}{经过多少个环}经过多少个环后再经过多少步得到的最终状态\color{Red}{再经过多少步得到的最终状态}再经过多少步得到的最终状态~
如下图所示：

我们只需要用一个字符串记录三个桶牛奶量的状态，利用map看之前是否出现过，出现过的话，我们就找到了一个环_{直接退出循环，计算经过``p``圈后还需走多少步达到100次，最终输出答案即可}
这样我们就不用枚举100次了~

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;//容积,牛奶量PII a[4];
unordered_map<string, int> state;
int r;
string s;int main()
{for (int i = 1; i <= 3 ; i++ ){int x, b;scanf("%d%d", &x, &b);a[i] = {x, b};}int idx = 1;for (int i = 1; i <= 100; i ++ ){int next = (idx + 1) % 4 ? idx + 1 : 1;int v = a[next].first;int w = a[next].second;if (v == w){}else if (a[idx].second + w <= v){a[next].second = a[idx].second + w;a[idx].second = 0;}else {a[idx].second -= v - w;a[next].second = v;}idx = next;/*上方的注释请看朴素版的算法~*///合成一下状态(桶1的牛奶量, 桶2的牛奶量, 桶3的牛奶量)s = to_string(a[1].second) + " " +  to_string(a[2].second) + " " + to_string(a[3].second);if (!state.count(s))//如果该状态在之前没有，则插入该状态state[s] = i;else //若有,则找到环的大小,并退出循环{r = (100 - i) % (i - state[s]);break;}}int x = state[s] + r ? state[s] + r : 1;//找到最终状态的位置~for (auto t : state)//找到最终状态`if (t.second == x){s = t.first;break;}//处理一下输出结果~   int t = s.find(' ');for (int i = 0; i < t; i ++ ) printf("%c", s[i]);s[t] = '.';puts("");int p = s.find(' ');for (int i = t + 1; i <= p; i ++ ) printf("%c", s[i]);s[p] = '.';puts("");int len = s.length();for (int i = p + 1; i < len; i ++ ) printf("%c", s[i]);puts("");return 0;
}