常微分方程：

1、 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

(1)

定义：如果有可微函数M(x,y) d(M)dx=P(x,y)

d(M)/dy=Q(x,y)——全微分方程或恰当方程

定理：(1)为恰当方程的充要条件为 d(P)/dy=dQ/dx成立

通积分+=C

or +=C

2、 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中的函数P(x,y)

Q(x,y)均可以表示为x的函数与y的函数的积，则称为变量可分离的方程

方法：直接分离开积分即可

3、 dy/dx +p(x)y =q(x) (2) dy/dx+p(x)y=0 (3)

如果p(x) q(x)在I上连续 (2)为非齐次线性方程

(3)为齐次线性方程

采用积分因子法：

(3)的通解为 ：y=C* e^ (-)

(4) 的通解为：y= e^ (-) * [C+ e^ () dx ]

4、 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

如果P(x,y) Q(x,y)都是x 和y

的同次齐次函数P(tx,ty)=t^mP(x,y) Q(tx,ty)=t^mQ(x,y)

则方程为齐次方程 (与(3)不同)

解法：用变量代换y=ux dy/dx

=xdu/dx + u

对于dy/dx=f((ax+by+c)/(mx+ny+l)) 的方程 要分情况讨论

a) an-bm不等于0 先做变换 x=w+a1

y=z+b1原方程等价：dz/dw=f((aw+bz)/(mw+nz)

b) an-bm=0 m/a=n/b=w dy/dx=f((ax+by+c)/(w(ax+by)+l) 令v=ax+by

dv/dx=a+bf(v+c/wv+l) ——这是一个变量可分离的方程

5、 伯努力方程

dy/dx+p(x)y=q(x)y^(n) (4) n为常数 n不等于0，1

解法：以(1-n)/y^n 乘以方程两边 得到(1-n)y^(-n) dy/dx

+(1-n)y^(1-n) p(x) =(1-n)q(x)

令z=y^(1-n) 得到 dz/dx +

(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)——关于z的一阶线性方程

6、 黎卡提方程

dy/dx=p(x)y^2+q(x)y+r(x) (5) 其中p(x)不恒等于0

解法：如果知道一个特解y=f1(x) 做变换y=u+f1(x) 带入(5)

du/dx=[2p(x)f1(x)+q(x)]u +p(x)u^2 ——伯努力方程

定理：dy/dx+ay^2=bx^m

(6)其中abm常数axy不等于0，则当m=0,-2,-4k/(2k+1),-4k/(2k-1)

时，方程(6)适当变换可化为变量分离方程。

7、 积分因子法：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0不是恰当方程，存在非零函数u=u(x,y)使得

u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=0成为恰当方程

u(x,y)就是一个积分因子

u(x,y)的求法：G(x)=1/Q*(dP/dy

–dQ/dx) H(y)=1/P *(dQ/dx

–dP/dy)

u(x)=e^() u(y)=e^()

令：u(x,y)=1/(xP(x,y) +yQ(x,y)) 是一个积分因子。

8、

一些常用的基本常识：

* 三角方面的知识

sin(a +- b)=sinacosb +- cosasinb

cos(a +- b)=cosacosb -+ sinasinb

tan(a +- b)=(tana +- tanb)/(1 -+ tanatanb)

* 向量方面的知识

1、向量的乘积：a(x1,y1) b(x2,y2) 则ab=x1x2+y1y2

2、向量AB+BE =BE-BA =AE

* 点线面方面的知识

点到直线的距离：(x0,y0) 直线：ax+by+c=0

则d=|ax0+by0+c|/(a^2+b^2)^(1/2)

点到平面的距离：已知四个点(xi,yi,zi)带入ax+by+cz+d=0 解出a b c d

得到平面的方程

P(x0,y0,z0) 为平面外一点 距离=|ax0+by0+cz0+d|/

(a^2+b^2+c^2)^(1/2)

注：求直线a到直线b的距离，就是过一条直线a的一点A作平行于另一条直线b的直线c

,b//平面ac，再求b上的点到平面ac的距离

* 三角形方面的知识

1、R为ABC的外接圆半径：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

2、三角形ABC,已知三边a,b,c 令s=(a+b+c)/2 则面积S的求法：

S=(s(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)

S=1/2*absinC //cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

S=1/2*(a+b+c)*r //r为内切圆半径 ——内切圆求法

* 平移对称方面的知识

1、按(a,b)平移的y=f(x) ,平移后就是y-b=f(x-a)

2、如果f(x-a)=-f(x+a) 则f(x) 关于(a,0) 对称

3、(a,b)关于y=x-m的对称点就是(b-m,a-m)

4、关于一个点(a,b)对称的两个点坐标为(a+x,b+y) (a-x,b-y)

5、关于x=a对称的曲线为：f(x+a) f(a-x)

6、曲线f(x,y)关于x-y+1=0对称的方程为f(y-1,x+1)

7、f(x)=2sin(2x+pi) ——〉 f(x)=2sin(x-pi/3)

1) 横坐标扩大一倍得到2sin(x+pi)

2) 向右平移pi+pi/3=4pi/3 得到2sin(x-pi/3)

* 二项式方面的知识

1、c(n,m)+c(n+1,m)+…+c(n+k,m)=c(n+k+1, m)

* 椭圆、双曲线、抛物线方面的知识

1、椭圆上一点P到焦点的距离与到相应准线距离比为c/a

2、双曲线的准线+-a^2/c |PF1|-|PF2|=2a

到右准线的距离=|PF2|*a/c

* 极坐标方面的知识

1、p=sqrt(x^2+y^2) cosa=x/p sina=y/p tana=y/x

p=ksin(x+a) 则r=k/2 角=pi/2

–a

p=kcos(x+a) 则r=k/2 角=-a

如：p=6cosa-2gen(3) sina=4gen(3) cos(a+pi/6)

所以r=2gen(3) a=pi/6

* 杂项的知识

1、ax^2+bx+c=0 所以x1+x2= -b/a x1*x2=c/a

2、 黄金分割：ACB在一条直线上 AC/AB=BC/AC

如果AB=1 AC=x BC=1-x就是x^2+x-1=0的解

3、 AàB A是B的充分条件

BàA A是B的必要条件

4、正数a