复合材料力学_桥桂琼编_西工大版

不涉及公式推导过程、层合板受力图形分析、基础物理符号定义（如（自由）应力、（自由）应变等）。
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1. 复合材料概论

复合材料：由界面分明、物理化学性能不同的组分材料构成的性能优越的多相材料

先进复合材料：由硼纤维、碳纤维和高强有机纤维作增强物的树脂基体复合材料，以及后来出现的耐高温的金属基、陶瓷基和碳-碳复合材料。

复合材料的分类

按连续相分
- 非金属基复合材料
  - 树脂基复合材料
    - 热固性树脂
    - 热塑性树脂
  - 陶瓷基复合材料
  - 碳基复合材料
- 金属基复合材料
按分散相分
- 纤维增强复合材料
- 颗粒增强复合材料
- 晶须增强复合材料
按结构形式分
- 层状复合材料
- 三维编织复合材料
- 夹层复合材料

复合材料的制造工艺：

预浸料工艺
树脂传递模塑工艺 RTM
树脂膜渗透工艺 RFI
缠绕工艺

力学特性：

非均质性

宏观上将单层处理为均质的，细观上将复合材料看作非均质的。
各向异性

单层纤维方向的材料性能由纤维控制的，垂直纤维方向的性能是基体控制的。

正交各向异性：单层各项材料在沿纤维方向拉伸时也只引起正应变，纯剪切时也只引起剪应变。（具有三个正交的弹性对称面）

耦合效应：单层复合材料受到偏离纤维方向拉伸时，除了引起正应变，还会产生剪切变形；纯剪切时，除了有剪切应变外还有正应变。
高比强度比模量

比强度是强度和密度之比，比模量是模量和密度之比。

物理意义：比值越高，说明在相同强度和刚度条件下，材料的质量越轻
可设计性
优越的抗疲劳特性
优越的耐腐蚀性
优越的抗振动性

2. 各向异性材料的应力-应变关系

宏观上，将复合材料看作均匀的各向异性弹性体。

在小变形线弹性条件下，各向异性弹性体和各向同性弹性体的力平衡微分方程和几何关系的表达形式是相同的，但应力-应变关系不一样。

名称	弹性常数个数
三维各向异性材料	81
张量对称性+三维各向异性材料	36
应变能密度+三维各向异性材料	21
单对称材料的应力-应变	13
正交各向异性材料的应力-应变	9
横向各向同性材料的应力-应变	5
各向同性材料的应力-应变	2

张量对称性：
{σij=σjiεij=εji\begin{cases} \sigma_{ij}=\sigma_{ji}\\ \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji} \end{cases} {σij=σjiεij=εji
工程剪应变弹性常数=2倍的张量剪应变弹性常数：γ23=2ε23\gamma_{23} = 2\varepsilon_{23}γ23=2ε23

应变能密度：w=12σijεijw=\frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}w=21σijεij

弹性对称性：改变对称的方向，弹性关系不变，改变方向，剪应力和剪应变变负，正应力和正应变不变。

弹性对称性可以降低正应力和剪应变或是剪应力和正应变的耦合效应。

横向各向同性材料：是正交各向异性材料的特例，其三个互相垂直的弹性对称面中有一个是各向同性的。

若2O32O32O3平面是各向同性的，则刚度系数和柔度系数的下标2、3交换，系数数值不变。

正交各向异性材料的工程弹性常数

工程弹性常数：拉压弹性模量、剪切弹性模量、泊松比

工程弹性常数表示的正交各向异性材料的应变-应力关系：
[ε1ε2ε3γ23γ31γ12]=[1E1−v21E2−v31E3000−v12E11E2−v32E3000−v13E3−v23E21E30000001G230000001G310000001G12][σ1σ2σ3τ23τ31τ12]\left[ \begin{matrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \gamma_{23}\\ \gamma_{31}\\ \gamma_{12} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{v_{21}}{E_2} & -\frac{v_{31}}{E_3} & 0 & 0 & 0\\ -\frac{v_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & -\frac{{v_{32}}}{E_3} & 0 & 0 & 0\\ -\frac{v_{13}}{E_3} & -\frac{v_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0\\ 0&0&0 & \frac{1}{G_{23}} &0&0\\ 0&0&0 & 0 & \frac{1}{G_{31}} &0\\ 0&0&0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{12}} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \sigma_1\\\sigma_2\\\sigma_3\\\tau_{23}\\\tau_{31}\\\tau_{12} \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ε1ε2ε3γ23γ31γ12⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡E11−E1v12−E3v13000−E2v21E21−E2v23000−E3v31−E3v32E31000000G231000000G311000000G121⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡σ1σ2σ3τ23τ31τ12⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

表示柔度矩阵SSS，刚度矩阵C=S−1C=S^{-1}C=S−1。

工程弹性常数的互等关系：由于柔度矩阵具有对称性，所以
{v12E1=v21E2v13E1=v31E3v23E2=v32E3(1)\begin{cases} \frac{v_{12}}{E_1}=\frac{v_{21}}{E_2}\\ \frac{v_{13}}{E_1}=\frac{v_{31}}{E_3}\\ \frac{v_{23}}{E_2}=\frac{v_{32}}{E_3} \end{cases}\tag{1} ⎩⎪⎨⎪⎧E1v12=E2v21E1v13=E3v31E2v23=E3v32(1)

说明正交各向异性材料独立的工程弹性常数也是9个，分别是3个拉压弹性模量、3个剪切弹性模量、3个主泊松比

正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件：

各向同性材料

各向同性材料有三个工程弹性常数，G=E2(1+v)G=\frac{E}{2(1+v)}G=2(1+v)E

因为 G>0,E>0G>0,E>0G>0,E>0 所以 v>−1v>-1v>−1

各向同性材料受到静水压力 −p-p−p 作用时的体积应变为 θ=−pE/3(1−2v)\theta=\frac{-p}{E/3(1-2v)}θ=E/3(1−2v)−p

其中体积模量 K=E3(1−2v)K=\frac{E}{3(1-2v)}K=3(1−2v)E

因为 K>0,E>0K>0,E>0K>0,E>0 所以 v<12v<\frac{1}{2}v<21

所以 −1<v<12-1<v<\frac{1}{2}−1<v<21
正交各向异性材料

因为刚度矩阵 [Cij][C_{ij}][Cij] 和柔度矩阵 [Sij][S_{ij}][Sij] 为正定矩阵

所以 Sii,Cii>0,i=1⋯6S_{ii},C_{ii}>0,i=1\cdots6Sii,Cii>0,i=1⋯6

由 Sii>0,i=1⋯6S_{ii}>0,i=1\cdots6Sii>0,i=1⋯6 得 Ei,Gi>0,i=1⋯3E_{i},G_{i}>0,i=1\cdots3Ei,Gi>0,i=1⋯3

由 Cii>0,i=1⋯6C_{ii}>0,i=1\cdots6Cii>0,i=1⋯6 得 Δ>0\Delta>0Δ>0 以及
{1−v23v32>01−v31v13>01−v12v21>0(2)\begin{cases} 1-v_{23}v_{32}>0\\ 1-v_{31}v_{13}>0\\ 1-v_{12}v_{21}>0 \end{cases}\tag{2} ⎩⎪⎨⎪⎧1−v23v32>01−v31v13>01−v12v21>0(2)
结合 (1),(2)(1),(2)(1),(2) 得
∣vij∣<(EiEj)1/2,i,j=1⋯3(3)|v_{ij}|<\left(\frac{E_i}{E_j}\right)^{1/2}, i,j=1\cdots3\tag{3} ∣vij∣<(EjEi)1/2,i,j=1⋯3(3)

式 (3)(3)(3) 可用于检验材料的弹性常数是否合理

3. 复合材料单层的弹性特性

连续纤维增强复合材料的层合板或层合壳是由若干单向纤维复合材料薄层或正交平面编织复合材料薄层叠合而成。

薄层的弹性特性决定了层合板或层合壳的弹性特性。

复合材料单层材料主方向的弹性特性：

单层材料的主方向：L(纤维方向),T(垂直于纤维方向),N(垂直于单层)L(纤维方向),T(垂直于纤维方向),N(垂直于单层)L(纤维方向),T(垂直于纤维方向),N(垂直于单层)

单层处于平面应力状态，即只存在3个不为0的应力分量 σL,σT,τLT\sigma_L,\sigma_T,\tau_{LT}σL,σT,τLT，且应力沿厚度方向近似均匀

材料应变-应力关系：
[εLεTγLT]=[S11S120S21S22000S66][σLσTτLT]\left[ \begin{matrix} \varepsilon_L\\ \varepsilon_T\\ \gamma_{LT} \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} S_{11}&S_{12}&0\\S_{21}&S_{22}&0\\0&0&S_{66} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \sigma_L\\\sigma_T\\\tau_{LT}\end{matrix}\right] ⎣⎡εLεTγLT⎦⎤=⎣⎡S11S210S12S22000S66⎦⎤⎣⎡σLσTτLT⎦⎤
其中柔度矩阵 SijS_{ij}Sij：
{S11=1/ELS22=1/ETS12=−vLTEL=−vTLETS66=1/GLT\begin{cases} S_{11}=1/E_L\\ S_{22}=1/E_T\\ S_{12}=-\frac{v_{LT}}{E_L}=-\frac{v_{TL}}{E_T}\\ S_{66}=1/G_{LT} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧S11=1/ELS22=1/ETS12=−ELvLT=−ETvTLS66=1/GLT

共有4个独立的工程弹性常数

材料的应力-应变关系：
[σLσTτLT]=[Q11Q120Q21Q22000Q66][εLεTγLT]\left[\begin{matrix} \sigma_L\\\sigma_T\\\tau_{LT}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} Q_{11}&Q_{12}&0\\Q_{21}&Q_{22}&0\\0&0&Q_{66} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} \varepsilon_L\\ \varepsilon_T\\ \gamma_{LT} \end{matrix} \right] ⎣⎡σLσTτLT⎦⎤=⎣⎡Q11Q210Q12Q22000Q66⎦⎤⎣⎡εLεTγLT⎦⎤
其中折算刚度矩阵 Q=S−1Q = S^{-1}Q=S−1

折算刚度矩阵与刚度系数的关系为
Qij=Cij−Ci3Cj3C33Q_{ij}=C_{ij}-\frac{C_{i3}C_{j3}}{C_{33}} Qij=Cij−C33Ci3Cj3

对于平面织物增强的复合材料，如果织物的经纱和纬纱的数量相同，则在经向和纬向具有相同的特性，即 ET=ELE_T=E_LET=EL ，因此独立的工程弹性常数只有3个

复合材料单层非材料主方向的弹性特性：

应力和应变的坐标转换：

坐标系旋转角度 θ\thetaθ 以 xxx 轴逆时针旋转到 LLL 轴为正。

应力转换
[σLσTτLT]=[m2n22mnn2m2−2mn−mnmnm2−n2][σxσyσxy]\left[\begin{matrix} \sigma_L\\\sigma_T\\\tau_{LT}\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} m^2&n^2&2mn\\n^2&m^2&-2mn\\-mn&mn&m^2-n^2\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_{xy}\end{matrix}\right] ⎣⎡σLσTτLT⎦⎤=⎣⎡m2n2−mnn2m2mn2mn−2mnm2−n2⎦⎤⎣⎡σxσyσxy⎦⎤
应变转换
[εLεT12γLT]=[m2n2−2mnn2m22mnmn−mnm2−n2][εxεy12γxy]\left[\begin{matrix} \varepsilon_L\\\varepsilon_T\\\frac{1}{2}\gamma_{LT}\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} m^2&n^2&-2mn\\n^2&m^2&2mn\\mn&-mn&m^2-n^2\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\frac{1}{2}\gamma_{xy}\end{matrix}\right] ⎣⎡εLεT21γLT⎦⎤=⎣⎡m2n2mnn2m2−mn−2mn2mnm2−n2⎦⎤⎣⎡εxεy21γxy⎦⎤

注意剪应变和剪应力要乘以1/2转换为张量

非材料主方向的应力-应变关系
[σxσyτxy]=[Q11‾Q12‾Q16‾Q21‾Q22‾Q26‾Q61‾Q62‾Q66‾][εxεyγxy]\left[\begin{matrix} \sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy}\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} \overline{Q_{11}}&\overline{Q_{12}}&\overline{Q_{16}}\\ \overline{Q_{21}}&\overline{Q_{22}}&\overline{Q_{26}}\\ \overline{Q_{61}}&\overline{Q_{62}}&\overline{Q_{66}}\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\gamma_{xy} \end{matrix}\right] ⎣⎡σxσyτxy⎦⎤=⎣⎡Q11Q21Q61Q12Q22Q62Q16Q26Q66⎦⎤⎣⎡εxεyγxy⎦⎤
非材料主方向平面折算刚度系数和材料主方向平面折算刚度系数关系（考试会给）

非材料主方向平面折算刚度系数和柔度系数推导的时候涉及到剪应变需要变换为张量形式

薄壁圆管上受拉力和弯矩时的应力状态：
σx=PπD0t,σy=0,τxy=2MπD02t\sigma_x=\frac{P}{\pi D_0 t},\sigma_y=0,\tau_{xy}=\frac{2M}{\pi D_0^2 t} σx=πD0tP,σy=0,τxy=πD02t2M

复合材料单层非材料主方向的工程弹性常数

单层非材料主方向的应变-应力关系
[εxεyγxy]=[S11‾S12‾S16‾S21‾S22‾S26‾S61‾S62‾S66‾][σxσyτxy]\left[\begin{matrix} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\gamma_{xy}\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \overline{S_{11}}&\overline{S_{12}}&\overline{S_{16}}\\ \overline{S_{21}}&\overline{S_{22}}&\overline{S_{26}}\\ \overline{S_{61}}&\overline{S_{62}}&\overline{S_{66}}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy}\end{matrix}\right] ⎣⎡εxεyγxy⎦⎤=⎣⎡S11S21S61S12S22S62S16S26S66⎦⎤⎣⎡σxσyτxy⎦⎤
非材料主方向上 S16‾,S26‾,S66‾\overline{S_{16}},\overline{S_{26}},\overline{S_{66}}S16,S26,S66 不为0，表明存在正应力和剪应变、剪应力和正应变的耦合效应。

为了描述该耦合效应，引入
{ηxy,x=γxyεx(拉剪耦合系数)ηxy,y=γxyεyηx,xy=εxγxy（剪拉耦合系数）ηy,xy=εyγxy\begin{cases}\eta_{xy,x}=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}}(拉剪耦合系数)\\ \eta_{xy,y}=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_y}\\ \eta_{x,xy}=\frac{\varepsilon_x}{\gamma_{xy}}（剪拉耦合系数）\\ \eta_{y,xy}=\frac{\varepsilon_y}{\gamma_{xy}} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ηxy,x=εxγxy(拉剪耦合系数)ηxy,y=εyγxyηx,xy=γxyεx（剪拉耦合系数）ηy,xy=γxyεy

非材料主方向的柔度系数矩阵也存在对称性。

纤维增强复合材料的单层的拉压弹性模量 ExE_xEx 在 θ=0°\theta = 0°θ=0° 最大且 =EL=E_L=EL，在 θ=90°\theta=90°θ=90° 最小且 =ET=E_T=ET 。

剪切弹性模量 GxyG_{xy}Gxy 在 θ=45°\theta=45°θ=45° 最大，在 θ=0°,90°\theta=0°,90°θ=0°,90° 最小且 =GLT=G_{LT}=GLT 。

泊松比 vxyv_{xy}vxy 在 θ=0°\theta=0°θ=0° 最大，在 θ=90°\theta=90°θ=90° 最小。

剪拉耦合系数 ηx,xy\eta_{x,xy}ηx,xy 是负的，其绝对值最大是在 θ=33°\theta=33°θ=33° 。

工程弹性常数变化形式和材料主方向的各向异性程度有关。上述变化形式为强各向异性材料的结果。

非材料主方向的工程弹性常数和材料主方向的工程弹性常数的关系考试会给。

4. 复合材料层合板的弹性特性

层合板是由两层或两层以上单层叠合在一起的层合形式的结构。

各单层可以是纤维方向不同而材质相同，也可以是材质不同，因此层合板沿厚度方向具有弹性性能的非均匀性。

层合板的标记规则：（从上往下标记，OxyzOxyzOxyz 坐标系以中间层为 xOyxOyxOy 平面，向下为 zzz 轴正向。）

连续相同纤维方向角单层层数用下标标记个数
单层或单层组之间用 / 隔开
45°和-45°顺序相邻可表示为 ±45°\pm45°±45° ，-45°和45°顺序相邻表示 ∓45°\mp45°∓45°
层合板标记用方括号括起来，括号外下标T表示非对称，S表示中面对称
偶数对称层合板直接写出一般角度+下标 SSS，奇数对称层合板中间层表示为 θ‾\overline{\theta}θ +下标 SSS
层合板中的重复单层组只需写出单层组，重复次数写在下标上
单层正交平面织物，每单层用（）括起来
单层材料下标表示，C 表示碳纤维 G 表示玻璃纤维 K 表示芳纶纤维 B 表示硼纤维

经典层合板理论和一般层合板的刚度

层合板的假设：

直法线假设：假设层合板受力弯曲后，原垂直于中面的法线仍保持直线并垂直于变形后的中面。
等法线假设：原垂直于中面的法线受载后长度不变，应变为0，即 εz=0\varepsilon_z=0εz=0 。
平面应力假设：单层处于平面应力状态。
线弹性和小变形假设：单层的应力-应变关系是线弹性的，层合板是小变形板。

层合板的应变-位移关系：
[εxεyγxy]=[εx0εy0γxy0]+z[κxκyκxy]\left[\begin{matrix} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\gamma_{xy} \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} \varepsilon_x^0\\\varepsilon_y^0\\\gamma_{xy}^0\end{matrix}\right]+z\left[\begin{matrix} \kappa_x\\\kappa_y\\\kappa_{xy}\end{matrix}\right] ⎣⎡εxεyγxy⎦⎤=⎣⎡εx0εy0γxy0⎦⎤+z⎣⎡κxκyκxy⎦⎤
记为：
εx,y=εx,y0+zκx,y\varepsilon_{x,y}=\varepsilon_{x,y}^0+z\kappa_{x,y} εx,y=εx,y0+zκx,y
层合板第k层的应力-应变关系：
[σxσyτxy]k=[Q11‾Q12‾Q16‾Q21‾Q22‾Q26‾Q61‾Q62‾Q66‾]k[εxεyγxy]k\left[\begin{matrix} \sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy}\end{matrix}\right]_k= \left[\begin{matrix} \overline{Q_{11}}&\overline{Q_{12}}&\overline{Q_{16}}\\ \overline{Q_{21}}&\overline{Q_{22}}&\overline{Q_{26}}\\ \overline{Q_{61}}&\overline{Q_{62}}&\overline{Q_{66}}\end{matrix}\right]_k \left[ \begin{matrix} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\gamma_{xy} \end{matrix}\right]_k ⎣⎡σxσyτxy⎦⎤k=⎣⎡Q11Q21Q61Q12Q22Q62Q16Q26Q66⎦⎤k⎣⎡εxεyγxy⎦⎤k
记为：
σx,yk=Qk‾εx,y0+zQk‾κx,y\sigma_{x,y}^k=\overline{Q^k}\varepsilon_{x,y}^0+z\overline{Q^k}\kappa_{x,y} σx,yk=Qkεx,y0+zQkκx,y
层合板的内力和内力矩：
Nx,y,xy=∫−h2h2σx,y,xydzMx,y,xy=∫−h2h2σx,y,xyzdzN_{x,y,xy}=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\sigma_{x,y,xy}dz\\ M_{x,y,xy}=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\sigma_{x,y,xy}zdz Nx,y,xy=∫−2h2hσx,y,xydzMx,y,xy=∫−2h2hσx,y,xyzdz
内力：单位宽度上的轴力、剪力，单位是 N/mN/mN/m

内力矩：单位宽度上的弯矩、扭距，单位是 N∙m/mN\bullet m /mN∙m/m

因为层合板是分层均匀的，对于有 nnn 个单层构成的层合板，其内力和内力矩应表示为所有单层的内力和内力矩的叠加。

层合板的内力-变形关系：
[NM]=[ABBD][ε0κ]\left[\begin{matrix} N\\M\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} A&B\\B&D\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \varepsilon^0\\\kappa\end{matrix}\right] [NM]=[ABBD][ε0κ]
其中
{A=∑k=1k=nQk‾(hk−hk−1)（面内刚度矩阵）B=12∑k=1k=nQk‾(hk2−hk−12)（耦合刚度矩阵）D=13∑k=1k−nQk‾(hk3−hk−13)（弯曲刚度矩阵）\begin{cases} A=\sum_{k=1}^{k=n}\overline{Q^k}(h_k-h_{k-1})（面内刚度矩阵）\\ B=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{k=n}\overline{Q^k}(h_k^2-h_{k-1}^2)（耦合刚度矩阵）\\ D=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{k-n}\overline{Q^k}(h_k^3-h_{k-1}^3)（弯曲刚度矩阵） \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧A=∑k=1k=nQk(hk−hk−1)（面内刚度矩阵）B=21∑k=1k=nQk(hk2−hk−12)（耦合刚度矩阵）D=31∑k=1k−nQk(hk3−hk−13)（弯曲刚度矩阵）

说明层合板除了拉剪耦合和弯扭耦合之外，还具有拉弯耦合或弯拉耦合效应。

A单位 N/mN/mN/m，B 单位 NNN ，D 单位 N∙mN\bullet mN∙m

层合板的变形-应力关系：
[ε0κ]=[abcd][NM]\left[\begin{matrix} \varepsilon^0\\\kappa\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a&b\\c&d\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} N\\M\end{matrix}\right] [ε0κ]=[acbd][NM]

对称层合板的弹性特性

对称层合板的特点：耦合刚度矩阵 B=0B=0B=0 ，没有拉弯耦合。

当对称层合板每层厚度为 ttt ，且单层层数为偶数 nnn 时：
A=2t∑k=1k=n/2Qk‾D=23t3∑k=1k=n/2Qk‾[k3−(k−1)3]A=2t\sum_{k=1}^{k=n/2}\overline{Q^k}\\ D=\frac{2}{3}t^3\sum_{k=1}^{k=n/2}\overline{Q^k}[k^3-(k-1)^3] A=2tk=1∑k=n/2QkD=32t3k=1∑k=n/2Qk[k3−(k−1)3]
特殊对称层合板：

单向层合板、单层板（参考坐标和材料主方向一致）
A=hQD=h312QA=hQ\\D=\frac{h^3}{12}Q A=hQD=12h3Q

A16,A26,D16,D26=0A_{16},A_{26},D_{16},D_{26}=0A16,A26,D16,D26=0
正交对称层合板

nnn 层 0°0°0° 和 mmm 层 90°90°90° 构成的对称层合板：
A11=t[nQ11+mQ22]A22=t[nQ22+mQ11]A12=hQ12A66=hQ66A16=A26=0A_{11}=t[nQ_{11}+mQ_{22}]\\A_{22}=t[nQ_{22}+mQ_{11}]\\A_{12}=hQ_{12}\\ A_{66}=hQ_{66}\\A_{16}=A_{26}=0 A11=t[nQ11+mQ22]A22=t[nQ22+mQ11]A12=hQ12A66=hQ66A16=A26=0

D16=D26=0D_{16}=D_{26}=0D16=D26=0
斜交对称层合板

nnn 层 +θ+\theta+θ 和 mmm 层 −θ-\theta−θ ：
A11=hQ11‾A22=hQ22‾A12=hQ12‾A66=hQ66‾A16=hn−mNQ16‾A26=hn−mNQ26‾A_{11}=h\overline{Q_{11}}\\A_{22}=h\overline{Q_{22}}\\A_{12}=h\overline{Q_{12}}\\A_{66}=h\overline{Q_{66}}\\A_{16}=h\frac{n-m}{N}\overline{Q_{16}}\\A_{26}=h\frac{n-m}{N}\overline{Q_{26}} A11=hQ11A22=hQ22A12=hQ12A66=hQ66A16=hNn−mQ16A26=hNn−mQ26
弯曲刚度系数：
D11=h312Q11‾D22=h312Q22‾D12=h312Q12‾D66=h312Q66‾D_{11}=\frac{h^3}{12}\overline{Q_{11}}\\ D_{22}=\frac{h^3}{12}\overline{Q_{22}}\\ D_{12}=\frac{h^3}{12}\overline{Q_{12}}\\ D_{66}=\frac{h^3}{12}\overline{Q_{66}} D11=12h3Q11D22=12h3Q22D12=12h3Q12D66=12h3Q66

当N足够大时，A16,A26，D16,D26A_{16},A_{26}，D_{16},D_{26}A16,A26，D16,D26 近似为0
准各向同性层合板

面内各个方向的刚度相同的对称层合板被称为准各向同性层合板，它与各向同性板的区别是厚度方向的刚度与面内刚度不相等。

特殊非对称层合板的弹性特性：

规则非对称层合板
反对称层合板

层合板的工程弹性常数

层合板的单层应力和应变分析

5. 复合材料层合板的强度

复合材料单层的材料主方向强度和弹性常数是可以通过实验唯一确定的。

层合板的刚独特性和内力可以计算出层合板各单层的材料主方向应力。

根据单层的应力状态和破坏模式，建立单层在材料主方向坐标系下的强度理论。

通过逐层破坏理论确定层合板的强度。

复合材料单层的基本强度

名称	符号/单位
纵向拉伸强度	Xt/MPaX_t/MPaXt/MPa
纵向压缩强度	Xc/MPaX_c/MPaXc/MPa
横向拉伸强度	Yt/MPaY_t/MPaYt/MPa
横向压缩强度	Yc/MPaY_c/MPaYc/MPa
面内剪切强度	S/MPaS/MPaS/MPa

单层的强度失效判据

最大应力失效判据
最大应变失效判据
蔡-希尔失效判据

蔡-希尔失效判据是各向同性材料的冯 ∙\bullet∙ 米塞斯屈服失效判据在正交各向异性材料中的推广。

假设正交各向异性材料的失效判据具有类似于各向同性材料的米塞斯准则。

失效判据公式：
σL2X2−σLσTX2+σT2Y2+τLT2S2=1\frac{\sigma_L^2}{X^2}-\frac{\sigma_L\sigma_T}{X^2}+\frac{\sigma_T^2}{Y^2}+\frac{\tau_{LT}^2}{S^2}=1 X2σL2−X2σLσT+Y2σT2+S2τLT2=1

该失效判据原则上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层

工程上如果 σL\sigma_LσL 是拉应力，则 XXX 选取 XtX_tXt

没有考虑单层拉压强度不同对材料破坏的影响
霍夫曼失效判据

增加应力的一次项，体现单层拉压强度不等对材料破坏的影响

σL2−σLσTXtXc+σT2YtYc+τLT2S2+Xc−XtXtXcσL+Yc−YtYcYtσT=1\frac{\sigma_L^2-\sigma_L\sigma_T}{X_tX_c}+\frac{\sigma_T^2}{Y_tY_c}+\frac{\tau_{LT}^2}{S^2}+\frac{Xc-Xt}{X_tX_c}\sigma_L+\frac{Y_c-Y_t}{Y_cY_t}\sigma_T=1 XtXcσL2−σLσT+YtYcσT2+S2τLT2+XtXcXc−XtσL+YcYtYc−YtσT=1
蔡-吴失效判据
Fijσiσj+Fiσi=1,(i=1,2,6)F_{ij}\sigma_i\sigma_j+F_i\sigma_i=1,(i=1,2,6) Fijσiσj+Fiσi=1,(i=1,2,6)
其中：
F11=1XtXcF22=1YtYcF66=1S2F1=1Xt−1XcF2=1Yt−1YcF12=−12F11F22F_{11}=\frac{1}{X_tX_c}\\F_{22}=\frac{1}{Y_tY_c}\\F_{66}=\frac{1}{S^2}\\F_1=\frac{1}{X_t}-\frac{1}{X_c}\\F_2=\frac{1}{Y_t}-\frac{1}{Y_c}\\F_{12}=-\frac{1}{2}\sqrt{F_{11}F_{22}} F11=XtXc1F22=YtYc1F66=S21F1=Xt1−Xc1F2=Yt1−Yc1F12=−21F11F22

必须强调，以上五种失效判据必须在单层的材料主方向坐标系下的应力状态下使用。

各向同性材料的强度失效判据使用的是主应力，由于复合材料单层基本强度具有明显的方向性，主应力已经无法用于判断破坏，所以复合材料单层板中单层强度判据中不使用主应力，而采用材料主方向应力。

复合材料失效判据的进一步讨论：

最大应力和最大应变判据注意了不同应力导致的破坏模式不同，忽略了不同应力相互作用的影响。

蔡-希尔和蔡-吴张量判据是基于金属材料塑性屈服能量理论的判据，考虑了不同应力及相互影响，但忽略了对不同失效模式的描述。

复合材料的基本失效模式：基体控制失效模式、纤维控制失效模式。

复合材料层合板的强度

表征层合板强度的典型指标：第一层失效强度、极限失效强度。

安全裕度：单层的极限应力矢量和外加应力矢量之比称为单层的安全裕度。

以蔡-吴失效判据为例：
A=F11σL2+F22σT2+F66τLT2+2F12σLσTB=F1σL+F2σTR1=−B+B2+4A2AR2=−B−B2+4A2AA=F_{11}\sigma_L^2+F_{22}\sigma_T^2+F_{66}\tau_{LT}^2+2F_{12}\sigma_L\sigma_T\\ B=F_1\sigma_L+F_2\sigma_T\\ R_1=\frac{-B+\sqrt{B^2+4A}}{2A}\\ R_2=\frac{-B-\sqrt{B^2+4A}}{2A} A=F11σL2+F22σT2+F66τLT2+2F12σLσTB=F1σL+F2σTR1=2A−B+B2+4AR2=2A−B−B2+4A

R1R_1R1 是该应力状态下的单层安全裕度，R2R_2R2 的绝对值正好对应于该外加应力矢量反向时的裕度值。

层合板的强度：

层合板的强度指标
- 第一层失效强度。最先发生单层失效时，与内力和内力矩对应的等效应力。
  [σx‾σy‾τxy‾]=1h[NxNyNxy][σx‾σy‾τxy‾]=6h2[MxMyMxy]\left[\begin{matrix} \overline{\sigma_x}\\\overline{\sigma_y}\\\overline{\tau_{xy}}\end{matrix}\right]=\frac{1}{h} \left[\begin{matrix} N_x\\N_y\\N_{xy}\end{matrix}\right]\\ \left[\begin{matrix} \overline{\sigma_x}\\\overline{\sigma_y}\\\overline{\tau_{xy}}\end{matrix}\right]=\frac{6}{h^2} \left[\begin{matrix} M_x\\M_y\\M_{xy}\end{matrix}\right] ⎣⎡σxσyτxy⎦⎤=h1⎣⎡NxNyNxy⎦⎤⎣⎡σxσyτxy⎦⎤=h26⎣⎡MxMyMxy⎦⎤
  
  第一层失效强度=等效应力乘以第一层安全裕度
- 极限强度。层合板最终失效时，与内力和内力矩对应的层合板等效应力
失效单层的刚度退化准则

假设层合板的失效模式是逐层失效的，单层失效后会使层合板的刚度有所下降，继续使用层合板原有的刚度不合适，需要确定失效单层的刚度对层合板刚度的贡献还有多大。
{ET′=DfETGLT′=DfGLTvLT′=DfvLT\begin{cases} E_T'=D_fE_T\\ G_{LT}'=D_fG_{LT}\\ v_{LT}'=D_fv_{LT} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ET′=DfETGLT′=DfGLTvLT′=DfvLT

DfD_fDf 为刚度折减系数。
层合板的强度预测
- 已知单层材料主方向的工程弹性系数、层合板的铺叠方式
- 计算层合板的刚度和柔度矩阵
- 已知外载荷求各单层的材料主方向的应力和应变
- 由单层的基本强度和选取的失效判据计算各单层的安全裕度
- 安全裕度最低的最先失效，由此得到第一层失效强度
- 对失效单层的刚度按刚度退化准则折减，并将带有失效层的层合板看作新的层合板，重新计算层合板刚度、柔度、各层安全裕度
- 取安全裕度最低的单层作为第二失效层
- 重复上述工作直至所有单层全部失效
- 选取最大安全裕度乘以外加载荷，得到层合板在该外加载荷状态下的极限强度。

6. 复合材料层合板的湿热效应

湿热对树脂基复合材料基本力学性能以及对层合板强度和刚度的影响也称为湿热效应，这也是树脂基复合材料层合板特有的重要特性。

单层的湿热变形

单层的湿热变形指单层在无外载状态下因为温度变化和吸入水分引起的热膨胀和湿膨胀的自由变形。

热膨胀变形：
αL,T,LT=eL,T,LTTΔT\alpha_{L,T,LT}=\frac{e_{L,T,LT}^T}{\Delta T} αL,T,LT=ΔTeL,T,LTT

α\alphaα 为热膨胀系数，eTe^TeT 为热自由线应变（当温度变化 ΔT\Delta TΔT 时，单层材料主方向的线应变），热膨胀系数单位1/K。

单层横向热膨胀系数由基体性能控制。

湿膨胀变形：
c=Δmm✖100%c=\frac{\Delta m}{m}✖100\% c=mΔm✖100%

ccc 为吸湿量。

βL,T,LT=eL,T,LTHc\beta_{L,T,LT}=\frac{e^H_{L,T,LT}}{c} βL,T,LT=ceL,T,LTH

β\betaβ 为湿膨胀系数，eHe^HeH 为湿膨胀系数

层合板的湿热本构关系

单层在材料主方向的本构关系为：
[εL−eLεT−eTγLT]=[S11S12S16S12S22S26S16S26S66][σLσTτLT]\left[\begin{matrix} \varepsilon_L-e_L\\\varepsilon_T-e_T\\\gamma_{LT} \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} S_{11}&S_{12}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{26}\\S_{16}&S_{26}&S_{66}\end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} \sigma_L\\\sigma_T\\\tau_{LT}\end{matrix}\right] ⎣⎡εL−eLεT−eTγLT⎦⎤=⎣⎡S11S12S16S12S22S26S16S26S66⎦⎤⎣⎡σLσTτLT⎦⎤
层合板的湿热本构关系：
[NxHTNyHTNxyHT]=∑k=1n[Q11‾Q12‾Q16‾Q12‾Q22‾Q26‾Q16‾Q26‾Q66‾]k[exeyexy]tk\left[\begin{matrix}N_x^{HT}\\N_y^{HT}\\N_{xy}^{HT}\end{matrix}\right]=\sum_{k=1}^{n}\left[\begin{matrix} \overline{Q_{11}}&\overline{Q_{12}}&\overline{Q_{16}}\\\overline{Q_{12}}&\overline{Q_{22}}&\overline{Q_{26}}\\\overline{Q_{16}}&\overline{Q_{26}}&\overline{Q_{66}}\end{matrix}\right]_k\left[\begin{matrix} e_x\\e_y\\e_{xy}\end{matrix}\right]t_k ⎣⎡NxHTNyHTNxyHT⎦⎤=k=1∑n⎣⎡Q11Q12Q16Q12Q22Q26Q16Q26Q66⎦⎤k⎣⎡exeyexy⎦⎤tk

等效湿热力矢量，tkt_ktk 为单层厚度

[MxHTMyHTMxyHT]=∑k=1n[Q11‾Q12‾Q16‾Q12‾Q22‾Q26‾Q16‾Q26‾Q66‾]k[exeyexy]tkzk\left[\begin{matrix}M_x^{HT}\\M_y^{HT}\\M_{xy}^{HT}\end{matrix}\right]=\sum_{k=1}^{n}\left[\begin{matrix} \overline{Q_{11}}&\overline{Q_{12}}&\overline{Q_{16}}\\\overline{Q_{12}}&\overline{Q_{22}}&\overline{Q_{26}}\\\overline{Q_{16}}&\overline{Q_{26}}&\overline{Q_{66}}\end{matrix}\right]_k\left[\begin{matrix} e_x\\e_y\\e_{xy}\end{matrix}\right]t_kz_k ⎣⎡MxHTMyHTMxyHT⎦⎤=k=1∑n⎣⎡Q11Q12Q16Q12Q22Q26Q16Q26Q66⎦⎤k⎣⎡exeyexy⎦⎤tkzk

等效湿热内力矩矢量

zkz_kzk 为单层的中面坐标 zk=12(hk+hk−1)z_k=\frac{1}{2}(h_k+h_{k-1})zk=21(hk+hk−1)

[Nx,y+Nx,yHTMx,y+Mx,yHT]=[ABBD][ε0κ]\left[\begin{matrix}N_{x,y}+N_{x,y}^{HT}\\M_{x,y}+M_{x,y}^{HT}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} A&B\\B&D\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\varepsilon^0\\\kappa\end{matrix}\right] [Nx,y+Nx,yHTMx,y+Mx,yHT]=[ABBD][ε0κ]

总内力为力学内力和等效湿热内力之和，总内力矩为力学内力矩和等效湿热内力矩之和

层合板的湿热膨胀系数

当层合板只有湿热作用时，层合板的中面应变即为层合板的湿热应变。

层合板的残余应力和残余应变

由层合板的湿热中面应变和曲率确定的各单层湿热应变，显然不等于单层的湿热自由应变，两者之差为单层的残余应变，与之对应的应力称为单层的残余应力。

单层的总应变=外力应变+残余应变+湿热自由应变

单层的总应力=外力应力+残余应力

层合板的湿热翘曲

翘曲：层合板的面外变形

引起层合板翘曲的原因可以是力学的，也可以是非力学的，由湿热引起的层合板翘曲是非力学的。

并非只有非对称铺层的层合板才会产生湿热翘曲变形，在湿度或温度分布不均匀时，对称层合板也会引起湿热翘曲变形。

8. 复合材料细观力学

宏观力学：基于经典的层合板理论。将单层看作均匀的各向异性板。

实际上，单层是非均匀的多相材料，单层的性能和组分材料的性能及其含量比直接相关。

细观力学的基本假设：

单层是宏观均质、线弹性、正交各向异性且无初应力的
纤维是均质的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则
基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，忽略孔隙
界面黏结完好，无缺陷。

细观力学的分析模型：代表性体积单元（RVE）

纤维质量 mfm_fmf ,密度 ρf\rho_fρf，横截面积 AfA_fAf ；基体质量 mmm_mmm ，密度 ρm\rho_mρm，横截面积 AmA_mAm 。

纤维体积分数 φ=Af/A\varphi=A_f/Aφ=Af/A ，基体体积分数 φ=Am/A\varphi=A_m/Aφ=Am/A

密度混合率
ρ=ρfφf+ρmφm\rho = \rho_f\varphi_f+\rho_m\varphi_m ρ=ρfφf+ρmφm

材料主方向工程弹性常数的细观预测

假设：纤维和基体沿纤维方向的变形相同，且为平面应力状态。

沿纤维方向弹性模量混合率：
EL=Efφf+Em(1−φf)E_L=E_f\varphi_f+E_m(1-\varphi_f) EL=Efφf+Em(1−φf)
主泊松比混合率：
vLT=vfφf+vm(1−φf)v_LT=v_f\varphi_f+v_m(1-\varphi_f) vLT=vfφf+vm(1−φf)
横向弹性模量：
1ET=φfEf+1−φfEm\frac{1}{E_T}=\frac{\varphi_f}{E_f}+\frac{1-\varphi_f}{E_m} ET1=Efφf+Em1−φf

要使横向弹性模量提高到基体模量的2倍，需要50%以上的纤维体积分数

该公式没有考虑纤维和基体之间的变心协调

考虑变形协调：
1ET=φfEf+φmEm(1−vm2)\frac{1}{E_T}=\frac{\varphi_f}{E_f}+\frac{\varphi_m}{E_m}(1-v_m^2) ET1=Efφf+Emφm(1−vm2)

面内剪切弹性模量：
1GLT=φfEf+1−φfEm\frac{1}{G_{LT}}=\frac{\varphi_f}{E_f}+\frac{1-\varphi_f}{E_m} GLT1=Efφf+Em1−φf

性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则

基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，忽略孔隙
界面黏结完好，无缺陷。