Newton-Raphson切线法解高次方程近似根

Newton-Raphson切线法解高次方程近似根

对于一般的一次，二次方程来说，求解方程的根比较简单。但是对于四次、五次甚至更高次方程，求解方程的f(x)=0的根变得十分困难甚至不可能完成。为此Newton（牛顿）在1736年 Method of Fluxions 中发表文章提出一种解决方案，事实上，牛顿所提出的这种方案，另一位数学家Joseph Raphson于1690年已经发现。为此，牛顿法也称为Newton-Raphson method。

牛顿法求解方程近似根，最明显的标志是利用方程的切线，所以牛顿法也称为切线法。

如图1：

方程y=f(x)=0的根，是f(x)与x坐标轴的交点。黑色的方块点就是真实的方程根，是我们要求解的根。但是在有些情况下，方程的阶数太高，无法直接求解，所以只能求出近似值。

为了找到这个根的近似值，采取一步一步趋近的方法。具体来说：

（一）首先选择一个起始值，这个起始值的选择可以人为的、经验性质的选定一个较为合理的点，该点当然是y=f(x)上的点。在图1中就是(x0,f(x0))作为初始化的点。点(x0,f(x0))的选择是先验的。

（二）然后过点(x0,f(x0))上的点做一条切线，过曲线上一点的切线方程有现成的点斜式方程公式可用，

（公式1）

求得该切线方程后，该切线与x坐标轴相交，再一次求得过(x0,f(x0))点的切线与x坐标轴的交点x1,。

（三）获得x1后，把x1带回到曲线y=f(x)中，于是有了第二点(x1,f(x1))，继续求过（x1,f(x1)）点的切线方程，与改切线方程x坐标轴的交点为x2。

（四）拿到x2后，带回曲线方程，得到新点(x2,f(x2))，还是求过该点的切线方程，该切线方程与x坐标轴有交点，交点可以得到为x3。

至此，可以看到，通过从x0到x3的每一轮逼近，x3已经十分接近要求的黑色方块值。如果x3的结果不够理想，可以继续采取上述步骤再做几次循环求解。

总结，如图2：

更普遍的，把（xn,f(xn)）代入公式1，令点斜式方程y=0，可以得到每一次进一步的求解更逼近的x结果的公式：

这样循环往复，最终可以取得理想的方程y=f(x)=0的近似解。可以看出，牛顿法数学思想再加上几何化比较明显，所以简单易用，但是也可以看出在实际的求解过程，所消耗的人类计算量通常会很大，所以在手工计算数值时代，牛顿法的实用性不是非常理想。如今牛顿法重获新生，是因为计算机的数值计算非常适应牛顿法，计算机非常喜欢这种类型的迭代计算模式，计算机不同于人类，尤其擅长这种数值方面的这种迭代计算。

但是要注意，牛顿法对初始值的选择有一定程度的敏感，如图3：

图3中的方程选择的初始值(x0,f(x0))导致无法求解到方程的根。是一个死循环。

还有就是，牛顿法所求的根，在距离较远处逼近时候，因为初始值x0选择不当，可能会求得不是想要的结果，如图4：

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