1. 买卖股票的最佳时机(限定交易次数1次)

1.1题目描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]

输出：5

解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。

注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

1.2题目分析

• 思路1：一次遍历方法。遍历一遍数组，计算每次截至当天的最小股票价格和最大利润。

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int maxprofit = 0, minpiece = 1e5, n = prices.size();  //price最大为1e4for(int i = 0; i < n; ++i) {if(minpiece > prices[i]) {minpiece = prices[i];}// minpiee = min(prices[i], minpiece);maxprofit = max(maxprofit, prices[i] - minpiece);}return maxprofit;}
};

• 思路2：动态规划。

动态规划的思路:

1. 明确 dp(i) 应该表示什么（二维情况：dp(i)(j);

1. 根据 dp(i) 和 dp(i-1)的关系得出状态转移方程；

1. 确定初始条件，如 dp(0).

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size(), minpiece = prices[0];vector<int> dp(n);for(int i = 1; i < n; ++i) {dp[i] = max(dp[i-1], prices[i] - minpiece);if(prices[i] < minpiece) {minpiece = prices[i];}}return dp[n - 1];}
};  

2.买卖股票的最佳时机 II(交易次数无数次)

2.1题目描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。返回你能获得的最大利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]

输出：7

解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。

随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。

总利润为 4 + 3 = 7 。

2.2题目分析

• 贪心算法。我们可以在第 X~i~ 天买入一支便宜的股票，然后在天将其在 X~j~ 以高价卖出，从而赚取其中的差价，然后又开始新的循环。所以本题等效于求n个不相交集 (Li, Lj]（因为任何一个时间点只能拥有一支股票），使得$sum(Li, Lj)$ 最大。$prices(L_j) - prices(L_i) = prices(L_{i+1}) - prices({L_i}) + ... + prices({L_j}) - prices({L_{j-1}})$ ,所以我们可以将时间间隔缩短为一天，便于程序的编写。

/*** @name: * @msg: 贪心算法* @return {最大收益}*/
int maxProfit(vector<int>& prices){int profit = 0;for(int i = 1; i < prices.size(); ++i){profit += max(0, prices[i] - prices[i-1]);}return profit;
}
/*时间复杂度:O(n)，空间复杂度:O(1)*/

• 动态规划。设$dp[i][0]$ 表示第i天没有股票时的最大收益，$dp[i][1]$ 表示第i天手上持有股票的最大收益.对于$dp[i][0]$ 而言，它的最大收益可能来自前一天也没有股票时的最大收益$dp[i-1][0]$ ，也可能是前一天有股票，第i天将其卖掉获得的最大收益. 所以 $dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])$ 。同理$dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])$初始条件:$dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0]$

/**
* @name:
* @msg: 动态规划
* @return {*}
*/
int maxProfit2(vector<int>& prices){int n = prices.size();int dp[n][2]; //dp[i][0]手上没有股票的最大收益，dp[i][1]手上有股票的最大收益dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0];for(int i = 1; i < n; ++i){dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);}return dp[n-1][0];
}/*
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)
*/

• 动态规划优化(数组滚动)。观察上述算法，发现$dp[i][x]$ 仅与$dp[i-1][x]$ 有关，与前面的无关，所以可以使用滚动法对空间复杂度进行优化

int maxProfit3(vector<int>& prices){int n = prices.size();int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];for(int i = 1; i < n; ++i){int newDp0 = max(dp0, dp1 + prices[i]);int newDp1 = max(dp1, dp0 - prices[i]);dp0 = newDp0;dp1 = newDp1;}return dp0;
}/*
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
*/

3.买卖股票的最佳时机 III(限定交易次数2次)

3.1题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

输出：6

解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]

输出：4

解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。

因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]

输出：0

3.2题目分析

[限制条件]:先买入才能卖出;不能同时参加多笔交易，再次买入时，需要先卖出;k >= 0才能进行交易，否则没有交易次数
[定义操作]:买入;卖出;不操作
[定义状态]:i: 天数k: 交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里我们只在买入的时候需要将 k - 10: 不持有股票1: 持有股票
[举例分析]:dp[i][k][0]//第i天 还可以交易k次 手中没有股票dp[i][k][1]//第i天 还可以交易k次 手中有股票【最终的最大收益是dp[n - 1][k][0]而不是dp[n - 1][k][1]，因为最后一天卖出肯定比持有收益更高】
[状态转移方程]:// 今天没有持有股票，分为两种情况// 1. dp[i - 1][k][0]，昨天没有持有，今天不操作。 // 2. dp[i - 1][k][1] + prices[i] 昨天持有，今天卖出，今天手中就没有股票了。dp[i][k][0] = Math.max(dp[i - 1][k][0], dp[i - 1][k][1] + prices[i])// 今天持有股票，分为两种情况：// 1.dp[i - 1][k][1] 昨天持有，今天不操作// 2.dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i] 昨天没有持有，今天买入。dp[i][k][1] = Math.max(dp[i - 1][k][1], dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i])//最大利润就是这俩种情况的最大值

• 动态规划

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();int dp[n][2][2];dp[0][0][0] = 0, dp[0][0][1] = -prices[0];dp[0][1][0] = 0, dp[0][1][1] = -prices[0];for(int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][0][1] = max(dp[i-1][0][1], -prices[i]);dp[i][0][0] = max(dp[i-1][0][0], dp[i][0][1] + prices[i]);dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i][0][0] - prices[i]);dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i][1][1] + prices[i]);}return dp[n-1][1][0];}
};
/*
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)
*/

• 推出一般规律

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();int dp[n][3][2];memset(dp, 0, sizeof(dp));for(int j = 0; j < 3; j++) {dp[0][j][0] = 0, dp[0][j][1] = -prices[0];}for(int i = 1; i < n; ++i) {for(int j = 1; j <= 2; ++j) {dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i][j-1][0]- prices[i]);dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i][j][1] + prices[i]);}}return dp[n-1][2][0];}
};
/*
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)
*/

• 滚动数组优化动态规划

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();/*定义初值*/int sell1 = 0, buy1 = -prices[0]; //第一次交易int sell2 = 0, buy2 = -prices[0]; //第二次交易/*动态规划求解*//*顺序:先买股票，然后买掉，再买股票，再次卖掉*/for(int i = 1; i < n; ++i) {/*先买股票--buy1*/buy1 = max(buy1, -prices[i]);/*卖掉股票*/sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]);/*第二次购买股票*/buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i]);/*第二次卖掉*/sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]);}/*最终卖掉股票收益最大*/return sell2;}
};

4.买卖股票的最佳时机 IV(限定交易次数为k次)

4.1题目描述

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]

输出：2

解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]

输出：7

解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。

随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

4.2题目分析

class Solution {
public:int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {int n = prices.size();int dp[n][k+1][2];memset(dp, 0, sizeof(dp));for(int j = 0; j < k+1; j++) {dp[0][j][0] = 0, dp[0][j][1] = -prices[0];}for(int i = 1; i < n; ++i) {for(int j = 1; j <= k; ++j) {dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i][j-1][0]- prices[i]);dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i][j][1] + prices[i]);}}return dp[n-1][k][0];}
};/*
时间复杂度:O(nk)
空间复杂度:O(nk)
*/

5.最佳买卖股票时机含冷冻期(含冷冻期)

5.1题目描述

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]

输出: 3

解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]

输出: 0

5.2题目分析

• 动态规划

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();int dp[n][3];//dp[i][0]  第i天手上持有股票时的最大收益//dp[i][1]  第i天手上没有股票且处于冷冻期的最大收益//dp[i][2]  第i天手上没有股票且未处于冷冻期的最大收益dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;dp[0][2] = 0;for(int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2] - prices[i]);dp[i][1] = dp[i-1][0] + prices[i];dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]);}return max(dp[n-1][1], dp[n-1][2]);}
};

• 滚动数组优化动态规划

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();int buy, freeze, sell;//buy    手上持有股票时的最大收益//freeze 手上没有股票且处于冷冻期的最大收益//sell   手上没有股票且未处于冷冻期的最大收益buy = -prices[0], freeze = 0, sell = 0;for(int i = 1; i < n; ++i) {int tmp1 = buy, tmp2 = freeze; //保存昨天的值buy = max(buy, sell - prices[i]);freeze = tmp1 + prices[i];sell = max(sell, tmp2);}return max(sell, freeze);}
};

6.买卖股票的最佳时机含手续费(含手续费)

6.1题目描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2

输出：8

解释：能够达到的最大利润:

在此处买入 prices[0] = 1

在此处卖出 prices[3] = 8

在此处买入 prices[4] = 4

在此处卖出 prices[5] = 9

总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3

输出：6

6.2题目分析

• 购买时支付fee

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {int n = prices.size();int dp[n][2];//在购买股票时支付fee(先可以在卖出时支付fee)dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0] - fee;for(int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee);dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);}return dp[n-1][0];}
};

• 卖出时支付fee

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {int n = prices.size();int dp[n][2];dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0];for(int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee);}return dp[n-1][0];}
};