距离空间与赋范空间

距离空间的定义

定义. 设 X X X 是一个非空集合, 若存在函数 d : X × X → R d: X\times X \rightarrow \mathbb{R} d:X×X→R, 满足:

(1) d ( x , y ) ≥ 0 d(x,y)\geq 0 d(x,y)≥0, ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X ∀x,y∈X, 且 d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d(x,y)=0 当且仅当 x = y x=y x=y;

(2) d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x,y) = d(y,x) d(x,y)=d(y,x), ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X ∀x,y∈X;

(3) d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y), ∀ x , y , z ∈ X \forall x,y,z\in X ∀x,y,z∈X;

则称 d d d 是 X X X 上的距离. 进一步地, 若 X X X 是线性空间, 则定义了距离 d d d 的 X X X 称为距离空间, 记为 ( X , d ) (X,d) (X,d).

距离空间中的极限

定义. 设 { x n } \{x_n\} {xn} 是距离空间中的一个序列, 若存在 x ∈ X x\in X x∈X, 满足 lim ⁡ n → ∞ d ( x n , x ) = 0 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_{n},x) = 0 n→∞limd(xn,x)=0 则称 { x n } \{x_n\} {xn} 按距离收敛于 x x x, x x x 是 { x n } \{x_n\} {xn} 的极限. 记作 lim ⁡ n → ∞ x n = x \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=x n→∞limxn=x 或 x n → x x_{n}\rightarrow x xn→x.

Theorem. 在距离空间中, 有:

(1) 收敛序列的极限是唯一的;

(2) 收敛序列是有界的;

(3) 若 { x n } \{x_{n}\} {xn} 收敛, 则 { x n } \{x_{n}\} {xn} 的任一子列也收敛于同一极限.

证明:

(1) 若 { x n } \{x_{n}\} {xn} 存在两个极限 x ≠ y x\neq y x=y, 则
0 ≤ d ( x , y ) ≤ d ( x , x n ) + d ( x n , y ) → 0 ( n → ∞ ) 0\leq d(x,y)\leq d(x,x_{n})+d(x_{n},y)\rightarrow0 \ (n\rightarrow \infty) 0≤d(x,y)≤d(x,xn)+d(xn,y)→0 (n→∞)
故 x = y x=y x=y, 矛盾.

(2) 任取 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0, 存在 N N N, 当 n ≥ N n\geq N n≥N 时, ∣ x n − x ∣ ≤ ϵ |x_{n}-x|\leq \epsilon ∣xn−x∣≤ϵ, 即 ∣ x n ∣ ≤ ∣ x ∣ + ϵ |x_{n}|\leq |x|+\epsilon ∣xn∣≤∣x∣+ϵ. 记 M = max ⁡ 1 ≤ n < N x n M = \max\limits_{1\leq n< N}x_{n} M=1≤n<Nmaxxn, 则 x n ≤ max ⁡ { M , ∣ x ∣ + ϵ } x_{n} \leq \max\{M, |x|+\epsilon\} xn≤max{M,∣x∣+ϵ}.

(3) 设 { x n } \{x_{n}\} {xn} 的极限为 x x x, 子列 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {xnk} 的极限为 y ≠ x y\neq x y=x, 则 lim ⁡ n → ∞ d ( x n , x ) = 0 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_{n},x)=0 n→∞limd(xn,x)=0, 即对任意 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0, ∃ N \exists N ∃N, n ≥ N n\geq N n≥N 时, d ( x n , x ) ≤ ϵ d(x_{n},x)\leq \epsilon d(xn,x)≤ϵ. 进而 n k ≥ N n_{k}\geq N nk≥N 时, d ( x n k , x ) ≤ ϵ d(x_{n_{k}}, x)\leq \epsilon d(xnk,x)≤ϵ. 即 ∃ K ( N ) \exists K(N) ∃K(N), 当 k > K ( N ) k>K(N) k>K(N) 时, d ( x n k , x ) ≤ ϵ d(x_{n_{k}}, x)\leq \epsilon d(xnk,x)≤ϵ. 所以 x x x 也为子列 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {xnk} 的极限, 与极限唯一性矛盾.

距离空间中的函数连续性

定义. 设 X , Y X,Y X,Y 是距离空间, T T T 是 X X X 到 Y Y Y 的映射, 对于 x 0 ∈ X x_{0}\in X x0∈X, 若对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt0 δ>0, 使得对于 ∀ x \forall x ∀x, d ( x , x 0 ) ≤ δ d(x,x_{0})\leq \delta d(x,x0)≤δ , 有 d ( T x , T x 0 ) ≤ ϵ d(Tx, Tx_{0})\leq \epsilon d(Tx,Tx0)≤ϵ, 则称 T T T 在 x 0 x_{0} x0 连续. 若 T T T 在 X X X 上每一点都连续, 则称 T T T 在 X X X 上连续.

定理. T T T 在 x 0 x_{0} x0 处连续等价于: (1) 对于 T x 0 Tx_{0} Tx0 的任一邻域 V V V, 存在 x 0 x_{0} x0 的邻域 U U U 使得 T ( U ) ⊂ V T(U)\subset V T(U)⊂V, 则称 T T T 在 x 0 x_{0} x0 处连续.

(2) 对于任意 { x n } \{x_{n}\} {xn}, x n → x 0 x_{n}\rightarrow x_{0} xn→x0, 序列 T x n → T x 0 Tx_{n} \rightarrow Tx_{0} Txn→Tx0.

证明:

(1) 充分性: 对于任意 ϵ > 0 \epsilon \gt 0 ϵ>0, 由题设条件可知, 对于 T x 0 Tx_{0} Tx0 的邻域 U ( T x 0 , ϵ ) U(Tx_{0}, \epsilon) U(Tx0,ϵ), 存在 x x x 的邻域 U ( x , δ ) U(x, \delta) U(x,δ), 使得 T ( U ) ⊂ V T(U)\subset V T(U)⊂V, 即对于 ∀ x \forall x ∀x, d ( x , x 0 ) ≤ ϵ d(x,x_{0})\leq \epsilon d(x,x0)≤ϵ, T x ∈ V Tx \in V Tx∈V, 即 d ( T x , T x 0 ) ≤ ϵ d(Tx, Tx_{0})\leq \epsilon d(Tx,Tx0)≤ϵ.

必要性: 对于 T x 0 Tx_{0} Tx0 的邻域 V = U ( T x 0 , ϵ ) V=U(Tx_{0}, \epsilon) V=U(Tx0,ϵ), 由连续性可知, 存在 δ > 0 \delta\gt0 δ>0, 使得对于 ∀ x \forall x ∀x, d ( x , x 0 ) ≤ δ d(x,x_{0})\leq \delta d(x,x0)≤δ, 有 d ( T x , T x 0 ) ≤ ϵ d(Tx, Tx_{0})\leq \epsilon d(Tx,Tx0)≤ϵ, 所以对于 ∀ x ∈ U ( x , δ ) \forall x\in U(x, \delta) ∀x∈U(x,δ), 满足 d ( T x , T x 0 ) ≤ ϵ d(Tx, Tx_{0})\leq \epsilon d(Tx,Tx0)≤ϵ, 即 T ( U ( x , δ ) ) ⊂ V T(U(x, \delta))\subset V T(U(x,δ))⊂V.

(2) 充分性: 任取 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 假设 T T T 在 x 0 x_{0} x0 处不收敛, 则存在 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 使得对于 ∀ δ > 0 \forall \delta\gt 0 ∀δ>0, 总存在 x x x, d ( x , x 0 ) ≤ δ d(x,x_{0})\leq \delta d(x,x0)≤δ, 有 d ( T x , T x 0 ) > ϵ d(Tx, Tx_{0})\gt \epsilon d(Tx,Tx0)>ϵ. 取 δ = 1 n \delta=\frac{1}{n} δ=n1, 每个 δ \delta δ 对应的 x x x 可构成 { x n } \{x_{n}\} {xn}, 则 x n → x 0 x_{n}\rightarrow x_{0} xn→x0, 由题设可知, 序列 T x n → T x 0 Tx_{n} \rightarrow Tx_{0} Txn→Tx0. 而 d ( T x n , T x 0 ) > ϵ d(Tx_{n}, T x_{0})\gt \epsilon d(Txn,Tx0)>ϵ, 说明 T x n ↛ T x 0 Tx_{n} \nrightarrow Tx_{0} Txn↛Tx0, 矛盾.

必要性: 设 T T T 在 x 0 x_{0} x0 处连续, 则对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得当 d ( x , x 0 ) ≤ δ d(x,x_{0}) \leq \delta d(x,x0)≤δ 时, d ( T x , T x 0 ) ≤ ϵ d(Tx, Tx_{0})\leq \epsilon d(Tx,Tx0)≤ϵ, 若 x n → x 0 x_{n}\rightarrow x_{0} xn→x0, 则存在 N > 0 N\gt 0 N>0, 使得当 n ≥ N n\geq N n≥N 时, d ( x n , x 0 ) ≤ δ d(x_{n}, x_{0})\leq \delta d(xn,x0)≤δ, 因此当 n ≥ N n\geq N n≥N 时, d ( T x , T 0 ) ≤ ϵ d(Tx, T_{0})\leq \epsilon d(Tx,T0)≤ϵ, 所以 T x n → T x Tx_{n}\rightarrow Tx Txn→Tx.

赋范空间的定义

设 X X X 是一个线性空间, 其标量域为 K K K, 若函数 ∥ ⋅ ∥ : X → R \left\|\cdot\right\|: X\rightarrow \mathbb{R} ∥⋅∥:X→R, 满足

(1) ∥ x ∥ ≥ 0 \left\|x\right\|\geq 0 ∥x∥≥0, ∀ x \forall x ∀x, 且 ∥ x ∥ = 0 \left\|x\right\| = 0 ∥x∥=0 当且仅当 x = 0 x=0 x=0;

注:

(1) 赋范空间 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X, \parallel \cdot\parallel) (X,∥⋅∥) 可以视为距离空间: 定义 d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d(x,y) = \left\|x-y\right\| d(x,y)=∥x−y∥, ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X ∀x,y∈X, 可以证明 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y) 是 X X X 上的距离. 一般也把赋范空间视作距离空间, 距离的定义如上所示.

(2) 范数还有一条常用性质:
∣ ∥ x ∥ − ∥ y ∥ ∣ ≤ ∥ x − y ∥ | \parallel x \parallel - \parallel y \parallel | \leq \parallel x-y \parallel ∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥
证明: 由三角不等式, 有
∥ x ∥ ≤ ∥ x − y ∥ + ∥ y ∥ \parallel x \parallel\leq \parallel x-y \parallel + \parallel y \parallel ∥x∥≤∥x−y∥+∥y∥

∥ y ∥ ≤ ∥ y − x ∥ + ∥ x ∥ \parallel y \parallel \leq \parallel y-x \parallel + \parallel x \parallel ∥y∥≤∥y−x∥+∥x∥

整理即可得上式.

范数的连续性

范数 ∥ x ∥ \left\|x\right\| ∥x∥ 是连续函数

证明: 范数 ∥ x ∥ \left\|x\right\| ∥x∥ 是连续函数的充要条件是: 对于任意 x ∈ X x\in X x∈X, 满足: 对于任意收敛于 x x x 的序列 { x n } \{x_{n}\} {xn}, 有 ∥ x n ∥ → ∥ x ∥ \left\|x_{n}\right\|\rightarrow \left\|x\right\| ∥xn∥→∥x∥.

已知 lim ⁡ n → ∞ ∥ x n − x ∥ = 0 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left\|x_{n}-x\right\| = 0 n→∞lim∥xn−x∥=0, 求证 lim ⁡ n → ∞ ∣ ∥ x n ∥ − ∥ x ∥ ∣ = 0 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}|\left\|x_{n}\right\|- \left\|x\right\||=0 n→∞lim∣∥xn∥−∥x∥∣=0. 由范数的性质, 有
∣ ∥ x n ∥ − ∥ x ∥ ∣ ≤ ∥ x n − x ∥ |\left\|x_{n}\right\|- \left\|x\right\||\leq \left\|x_{n}-x\right\| ∣∥xn∥−∥x∥∣≤∥xn−x∥
命题显然成立.

赋范空间中的加法和数乘运算连续. 即: 若 x n → x , y n → y x_{n}\rightarrow x, y_{n}\rightarrow y xn→x,yn→y, 则 x n + y n → x + y x_{n}+y_{n}\rightarrow x+y xn+yn→x+y; 若 x n → x x_{n} \rightarrow x xn→x, 则 α x n → α x \alpha x_{n}\rightarrow \alpha x αxn→αx

∥ x n + y n − x − y ∥ ≤ ∥ x n − x ∥ + ∥ y n − y ∥ → 0 , n → ∞ \left\|x_{n}+y_{n}-x-y\right\|\leq \left\|x_{n}-x\right\|+\left\|y_{n}-y\right\| \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ∥xn+yn−x−y∥≤∥xn−x∥+∥yn−y∥→0,n→∞

∥ α x n − α x ∥ ≤ α ∥ x n − x ∥ → 0 , n → ∞ \left\|\alpha x_{n}-\alpha x\right\|\leq \alpha \left\|x_{n}-x\right\| \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ∥αxn−αx∥≤α∥xn−x∥→0,n→∞

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