泛函分析 02.03 赋范空间-几何结构

§2.3赋范空间的几何结构 \color{blue}{\S 2.3 赋范空间的几何结构}

内容: 内容:
(1)赋范空间中的凸集; (1) 赋范空间中的凸集;
(2)子空间; (2) 子空间;
(3)Riesz引理. (3) Riesz 引理.

2.3.1凸集 \color{blue}{2.3.1 凸集}

R n 空间中的凸集:集合A⊂R n ,如果对于任意的x,y∈A,其连线也在A中,则称A是凸的. \color{blue}{\mathbb{R}^n空间中的凸集:\\ 集合A \subset \mathbb{R}^n, 如果对于任意的x, y \in A, 其连线也在A中,\\ 则称A是凸的.}
同样,在一般的赋范空间中,也可以定义凸集. 同样, 在一般的赋范空间中, 也可以定义凸集.

定义2.3.1设X是线性空间,A⊂X,如果对于任意的x,y∈A,任意的α:0≤α≤1,都有αx+(1−α)y∈A,则称A是X中的凸集. \color{blue}{定义2.3.1 设X是线性空间, A \subset X, 如果对于任意的\\ x, y \in A, 任意的 \alpha: 0 \leq \alpha \leq 1, 都有\\ \qquad \alpha x + (1 - \alpha) y \in A, \\ 则称A是X中的凸集.}
注1：任意多个凸集的交集是凸的. 注1：任意多个凸集的交集是凸的.
事实上,如果对于每个γ∈Γ,A γ 是凸集,则对于任意事实上, 如果对于每个\gamma \in \Gamma, A_{\gamma} 是凸集, 则对于任意
x,y∈⋂ γ∈Γ A γ 及α∈[0,1],有对于每个γ∈Γ, x, y \in \bigcap \limits_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} 及 \alpha \in [0, 1], 有对于每个 \gamma \in \Gamma,
αx+(1−α)y∈A γ , \qquad \alpha x + (1 - \alpha) y \in A_{\gamma},
即αx+(1−α)y∈⋂ γ∈Γ A γ . 即 \alpha x + (1 - \alpha) y \in \bigcap \limits_{\gamma \in \Gamma} A^{\gamma}.
注2：A⊂X,所有包含A的凸集的交集是凸集.这个凸集称为A的凸包,记为Co(A).Co(A)是包含A的最小凸集. \color{blue}{注2：A \subset X, 所有包含 A 的凸集的交集是凸集. \\ 这个凸集称为A的凸包, 记为Co(A).\\ Co(A)是包含A的最小凸集.}

定理2.3.2设B(0,1)={x∈X|∥x∥<1}是赋范空间定理2.3.2 设B(0, 1) = \lbrace x \in X | \Vert x \Vert
X中开的单位球,则B(0,1)是凸的. X中开的单位球, 则B(0, 1)是凸的.
分析：用凸集的定义证明. 分析：用凸集的定义证明.
证明：对于任意的x,y∈B(0,1)及0<α<1,要证明证明：对于任意的x, y \in B(0, 1) 及 0
αx+(1−α)y∈B(0,1),即它的范数小于1. \alpha x + (1 - \alpha) y \in B(0, 1), 即它的范数小于1.
由于由于
∥αx+(1−α)y∥≤α∥x∥+(1−α)∥y∥ \qquad \Vert \alpha x + (1 - \alpha) y \Vert \leq \alpha \Vert x \Vert + (1 - \alpha) \Vert y \Vert
α+(1−α)=1. \qquad \alpha + (1 - \alpha) = 1.
所以B(0,1)是一个凸集. 所以B(0, 1)是一个凸集.
注:单位球是0点的一个凸邻域,这是赋范空间十分重要的几何特征. 注:单位球是0点的一个凸邻域, 这是赋范空间十分重要的几何特征.

例2.3.3设X是由有序实数组x=(x 1 ,x 2 )组成的向量空间,在X上定义例2.3.3 设X是由有序实数组 x = (x_1, x_2) 组成的向量空间, 在X上定义
φ(x)=(|x 1 | − − − √ +|x 2 | − − − √ ) 2 \qquad \varphi(x) = (\sqrt{|x_1|} + \sqrt{|x_2|})^2
则曲线φ(x)=1围成的区域不是凸集, 则曲线\varphi(x) = 1 围成的区域不是凸集,
由定理2.3.2,从图(2.3.1)可知φ(x)不是X上的范数. 由定理2.3.2, 从图(2.3.1)可知 \varphi(x) 不是X上的范数.
注意这里p=12 <1. 注意这里 p = \dfrac{1}{2}

2.3.2子空间 \color{blue}{2.3.2 子空间}

设(X,∥⋅∥)是赋范空间,X 1 是X的一个线性子空间, 设(X, \Vert \cdot \Vert) 是赋范空间, X_1是X的一个线性子空间,
则(X 1 ,∥⋅∥)也是一个赋范空间,称为X的子空间,显然则(X_1, \Vert \cdot \Vert)也是一个赋范空间, 称为X的子空间, 显然
子空间是凸集. 子空间是凸集.

定理2.3.4设X是一个赋范空间,X 1 是X的一个子空间, 定理2.3.4 设X是一个赋范空间, X_1 是 X 的一个子空间,
如果X 1 是开集,则X 1 =X. 如果X_1是开集, 则X_1 = X .
证明：只需证明X⊂X 1 .即对任意的x∈X,要证x∈X 1 . 证明：只需证明 X \subset X_1. 即对任意的x \in X, 要证 x \in X_1.
(1)若x=0. (1) 若 x = 0.
由于X 1 是一个子空间,于是x=0∈X 1 . 由于 X_1 是一个子空间, 于是 x = 0 \in X_1.
(2)假设x≠0.因为X 1 是开的,所以0是X 1 的内点, (2)假设 x \neq 0. 因为X_1是开的, 所以0 是X_1 的内点,
于是∃δ>0,使得B(0,δ)⊂X 1 .由此可以证明于是 \exists \delta > 0, 使得B(0, \delta) \subset X_1. 由此可以证明
δx2∥x∥ ∈X 1 .事实上 \dfrac{\delta x}{2 \Vert x \Vert} \in X_1. 事实上
∥δx2∥x∥ ∥=δ∥x∥2∥x∥ =δ2 <δ \qquad \Vert \dfrac{\delta x}{2 \Vert x \Vert} \Vert = \dfrac{\delta \Vert x \Vert}{2 \Vert x \Vert} = \dfrac{\delta}{2}
注意到X 1 是一个线性子空间,于是注意到X_1是一个线性子空间, 于是
x=2∥x∥δ (δx2∥x∥ )∈X 1 \qquad x = \dfrac{2 \Vert x \Vert}{\delta}(\dfrac{\delta x}{2 \Vert x \Vert}) \in X_1
因此,X⊂X 1 ,故X=X 1 . 因此, X \subset X_1, 故X = X_1.
在R n 空间,所有的子空间都是闭的. 在 \mathbb{R}^n 空间, 所有的子空间都是闭的.
但是在无穷维空间,子空间就可能不是闭的. 但是\color{red}{在无穷维空间, 子空间就可能不是闭的. }

例2.3.5设φ={{x n }∈l ∞ |对于每一个{x n },存在例2.3.5 设\varphi = \lbrace \lbrace x_n \rbrace \in l^{\infty} | 对于每一个 \lbrace x_n \rbrace, 存在
一个N∈N,当n>N时,有x n =0},即φ中的数列一个 N \in \mathbb{N}, 当 n > N 时, 有 x_n = 0 \rbrace, 即\varphi中的数列
仅有有限项不等于零. 仅有有限项不等于零.
则φ是l ∞ 的一个线性子空间.但φ不是闭的. 则 \varphi 是 l^{\infty} 的一个线性子空间. 但 \varphi 不是闭的.
事实上,令y n =(1,12 ,13 ,⋯,1n ,0,0,⋯), 事实上, 令 y_n = (1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots, \dfrac{1}{n}, 0, 0, \cdots),
y=(1,12 ,13 ,⋯),显然y n ∈φ,并且 y = (1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots), 显然 y_n \in \varphi, 并且
∥y n −y∥=∥(0,0,0,⋯,0,1n+1 ,1n+2 ,⋯)∥=1n+1 →0 \Vert y_n - y \Vert = \Vert (0, 0, 0, \cdots, 0, \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n+2}, \cdots) \Vert = \dfrac{1}{n+1} \to 0
因此lim n→∞ y n =y.但是y∈ ¯ ¯ φ,从而φ不是闭的. 因此 \lim \limits_{n \to \infty} y_n = y. 但是 y \overline \in \varphi, 从而 \varphi 不是闭的.

定理2.3.6X是赋范空间,X 1 ⊂X是子空间,则定理2.3.6 X是赋范空间, X_1 \subset X 是子空间, 则
(1)若子空间X 1 是完备的,则X 1 是闭的; (1) 若子空间 X_1 是完备的, 则 X_1 是闭的;
(2)若X是Banach空间,X 1 是X的闭子空间,则 (2) 若 X 是Banach 空间, X_1 是 X 的闭子空间, 则
X 1 一定是Banach空间. X_1 一定是Banach 空间.
证明：(1)有完备性的定义和定理1.3.11“A是闭集当且证明：(1) 有完备性的定义和定理1.3.11 “A是闭集当且
仅当A中收敛点列的极限属于A”可证. 仅当A中收敛点列的极限属于 A”可证.
(2)根据命题“完备空间的任何闭子空间完备”可证. (2)根据命题“完备空间的任何闭子空间完备”可证.

例2.3.7c表示收敛数列的全体,定义范数例2.3.7 c表示收敛数列的全体, 定义范数
∥x∥=sup k |ξ k |(2.3.1) \qquad \Vert x \Vert = \sup \limits_{k} |\xi_k| \quad (2.3.1)
则c是一个赋范空间. 则c是一个赋范空间.
在通常加法和数乘的意义下,c是Banach空间l ∞ 的子空间. 在通常加法和数乘的意义下, c 是 Banach 空间 l^{\infty} 的子空间.

命题2.3.8c是Banach空间l ∞ 的闭子空间. 命题2.3.8 c 是 Banach 空间 l^{\infty} 的闭子空间.
分析：显然c是一个子空间,要证c是闭的,只需证明c 分析：显然c是一个子空间, 要证c是闭的, 只需证明c
中的任何收敛点列的极限属于c. 中的任何收敛点列的极限属于c.
证明：设{x n }⊂c在l ∞ 中收敛,即:x n →x 0 ,其中证明：设 \lbrace x_n \rbrace \subset c 在 l^{\infty} 中收敛,即: x_n \to x_0, 其中
x n ={ξ (n) k },x 0 ={ξ (0) k }. x_n = \lbrace \xi_k^{(n)} \rbrace, x_0 = \lbrace \xi_k^{(0)} \rbrace.
我们要证明x 0 ∈c,即：x 0 是一个收敛的数列.即证x 0   我们要证明 x_0 \in c, 即：x_0 是一个收敛的数列. 即证 x_0
是一个Cauchy数列. 是一个 Cauchy 数列.
由于c⊂l ∞ ,{x n }在l ∞ 中按范数收敛到x 0 ,所以对由于 c \subset l^{\infty}, \lbrace x_n \rbrace 在 l^{\infty} 中按范数收敛到 x_0, 所以对
于∀ε>0,∃N,当n≥N时, 于 \forall \varepsilon > 0, \exists N, 当 n \geq N 时,
∥x n −x 0 ∥=sup k |ξ (n) k −ξ (0) k |<ε3 (2.3.2) \qquad \Vert x_n - x_0 \Vert = \sup \limits_{k} |\xi_k^{(n)} - \xi_k^{(0)} |
因此,当n≥N时,对于每一个k, 因此, 当 n \geq N 时, 对于每一个 k,
|ξ (n) k −ξ (0) k |<ε3   \qquad |\xi_k^{(n)} - \xi_k^{(0)}|
因为x n ={ξ (N) k } ∞ k=1 是一个收敛的数列(k→∞), 因为 x_n = \lbrace \xi_k^{(N)} \rbrace _{k=1}^{\infty} 是一个收敛的数列(k \to \infty),
所以∃K,当k,l>K时, 所以 \exists K, 当 k, l > K 时,
|ξ (N) k −ξ (N) l |<ε3   \qquad |\xi_k^{(N)} - \xi_l^{(N)} |
于是于是
|ξ (0) k −ξ (0) l | \qquad |\xi_k^{(0)} - \xi_l^{(0)} |
≤|ξ (0) k −ξ (N) k |+|ξ (N) k −ξ (N) l |+|ξ (N) l −ξ (0) l | \qquad \leq |\xi_k^{(0)} - \xi_k^{(N)}| + |\xi_k^{(N)} - \xi_l^{(N)}| + |\xi_l^{(N)} - \xi_l^{(0)}|
<ε3 +ε3 +ε3 =ε \qquad
即{ξ (0) k } ∞ k=1 是Cauchy列,即收敛的数列,所以x 0 ∈c. 即\lbrace \xi_k^{(0)} \rbrace_{k=1}^{\infty} 是 Cauchy 列, 即收敛的数列, 所以x_0 \in c.
这就证明了c是Banach空间l ∞ 的闭子空间. 这就证明了c是 Banach 空间 l^{\infty} 的闭子空间.

由定理2.3.6知由定理2.3.6 知
推论2.3.9c是Banach空间. 推论 2.3.9 c 是 Banach 空间.

例2.3.10c 0 ={全体收敛于零的数列},定义范数例2.3.10 c_0 = \lbrace 全体收敛于零的数列 \rbrace, 定义范数
∥x∥=sup k |ξ k |(2.3.3) \qquad \Vert x \Vert = \sup \limits_k |\xi_k| \quad (2.3.3)
则c 0 是c的闭子空间. 则c_0 是 c 的闭子空间.
证明分析：只需证明，若证明分析：只需证明，若
x n → ∥⋅∥ x 0 ={ξ (0) k }(n→∞) \qquad x_n \stackrel{\Vert \cdot \Vert}{\to} x_0 = \lbrace \xi_k^{(0)} \rbrace (n \to \infty)
则x 0 ∈c 0 ,即x 0 是收敛到零的数列. 则 x_0 \in c_0, 即 x_0 是收敛到零的数列.
注意到在c中的收敛是一致收敛, 注意到在 c 中的收敛是一致收敛,
所以对于∀ε>0,可以找到某个N,当k充分大时所以对于 \forall \varepsilon >0, 可以找到某个N, 当k充分大时
|ξ (0) k |≤|ξ (0) k −ξ (N) k |+|ξ (N) k |<ε \qquad |\xi_k^{(0)}| \leq |\xi_k^{(0)} - \xi_k^{(N)}| + |\xi_k^{(N)}|
即即
lim k→∞ ξ (0) k =0 \qquad \lim \limits_{k \to \infty} \xi_k^{(0)} = 0
我们有x 0 ∈c 0 ,即c 0 是c的闭子空间. 我们有 x_0 \in c_0, 即 c_0 是 c的闭子空间.
注:c 0 ⊂c⊂l ∞ (都是l ∞ 的闭子空间) 注: c_0 \subset c \subset l^{\infty}(都是 l^{\infty} 的闭子空间)
进一步地,可以证明c 0 是可分的Banach空间. 进一步地, 可以证明 c_0 是可分的 Banach 空间.

2.3.3Riesz引理 \color{blue}{2.3.3 Riesz 引理}

(1)若M是赋范空间X中的一个真子空间,那么M可能在X中稠,例如 (1) 若M是赋范空间X中的一个真子空间, 那么M可能在X中稠,例如
多项式的全体是C[a,b]的稠密的真子空间. 多项式的全体是 C[a, b]的稠密的真子空间.
(2)若M是X的闭子空间,由前面讲的闭集的性质知, (2) 若M是X的闭子空间, 由前面讲的闭集的性质知,
M要在X中稠只能是M=X. M要在X中稠只能是 M = X.
(3)若M是X的一个真闭子空间,则一定存在一个点,它和M有正距离. (3)若M是X的一个真闭子空间, 则一定存在一个点, 它和M有正距离.
这是一个很重要的几何性质. 这是一个很重要的几何性质.
在通常的二维Euclid空间,设M是过原点的直线(真的在通常的二维 Euclid 空间, 设 M 是过原点的直线(真的
闭子空间),M外的一个向量x与直线M的距离闭子空间), M外的一个向量x与直线M的距离
d(x,M)=∥x∥当且仅当x与直线M正交(垂直). d(x, M) = \Vert x \Vert 当且仅当x与直线M正交(垂直).
在一般的赋范空间中没有正交的概念(因为没有定义内积, 在一般的赋范空间中没有正交的概念(因为没有定义内积,
内积的定义见第三章),但是我们仍然能够问: 内积的定义见第三章), 但是我们仍然能够问:
“X是一个Banach空间,如果M是X中的一个真的闭子空间, “X是一个 Banach 空间, 如果M是X中的一个真的闭子空间,
那么是否存在一个点,它和M的距离d(x,M)=∥x∥>0?” 那么是否存在一个点, 它和M的距离d(x, M) = \Vert x \Vert > 0?”
在一般的Banach空间,这一问题的答案可能是否定的. 在一般的 Banach 空间, 这一问题的答案可能是否定的.
但是我们可以有下面的结论:泛函分析中十分重要的Riesz引理. 但是我们可以有下面的结论:泛函分析中十分重要的Riesz引理.

引理2.3.11(F.Riesz)设(X,∥⋅∥)是一个赋范空间, 引理2.3.11 (F.Riesz)设(X, \Vert \cdot \Vert)是一个赋范空间,
X 0 是X真的闭子空间,则 X_0是X真的闭子空间, 则
对于∀ε>0,存在x 0 ∈X,使得∥x 0 ∥=1,且对于对于 \forall \varepsilon > 0, 存在x_0 \in X, 使得 \Vert x_0 \Vert = 1, 且对于
∀x∈X 0 , \forall x \in X_0,
∥x−x 0 ∥>1−ε(2.3.4) \qquad \Vert x - x_0 \Vert > 1 - \varepsilon \quad (2.3.4)
证明：(1)∀x 1 ∈X∖X 0 ,记证明：(1) \forall x_1 \in X \setminus X_0, 记
d=inf x∈X 0 ∥x−x 1 ∥ \qquad d = \inf \limits_{x \in X_0} \Vert x - x_1 \Vert
(2)因X 0 是闭的,故d>0. (2) 因 X_0 是闭的, 故 d > 0.
这是因为:否则就存在x n ∈X 0 ,且∥x n −x 1 ∥→0,再这是因为: 否则就存在 x_n \in X_0, 且 \Vert x_n - x_1 \Vert \to 0, 再
由X 0 闭,可推出x 1 ∈X 0 . 由 X_0 闭, 可推出 x_1 \in X_0.
(3)不妨设ε<1,则有d1−ε >d.由下确界的定义,存在x 2 ∈X 0 ,使得 (3) 不妨设 \varepsilon d. 由下确界的定义, 存在 x_2 \in X_0, 使得
∥x 2 −x 1 ∥<d1−ε \qquad \Vert x_2 - x_1 \Vert
(4)令x 0 =x 1 −x 2 ∥x 1 −x 2 ∥ ,则∥x 0 ∥=1,对于任何x∈X 0 ,有 (4) 令 x_0 = \dfrac{x_1 - x_2}{\Vert x_1 - x_2 \Vert }, 则 \Vert x_0 \Vert = 1, 对于任何 x \in X_0, 有
∥x−x 0 ∥=∥x−x 1 −x 2 ∥x 1 −x 2 ∥ ∥ \Vert x - x_0 \Vert = \Vert x - \dfrac{x_1 - x_2}{\Vert x_1 - x_2 \Vert } \Vert
=1∥x 1 −x 2 ∥ ∥(∥x 1 −x 2 ∥x+x 2 )−x 1 ∥ \qquad = \dfrac{1}{\Vert x_1 - x_2 \Vert} \Vert (\Vert x_1 - x_2 \Vert x + x_2) - x_1 \Vert
≥1∥x 1 −x 2 ∥ ⋅d>1−ε(∵x,x 2 ∈X 0 ) \qquad \geq \dfrac{1}{\Vert x_1 - x_2 \Vert} \cdot d > 1 - \varepsilon (\because x, x_2 \in X_0)
注1：在一般情况下,定理的结论“>1−ε”不能加强为“大于等于1”. 注1：在一般情况下, 定理的结论 “>1 - \varepsilon”不能加强为“大于等于1”.
(可参阅汪林的“泛函分析中的反例”p40) (可参阅汪林的 “泛函分析中的反例” p40)
注2：本定理中X 0 是闭的是很重要的.若不是闭的,结论可能不成立. 注2：本定理中 X_0 是闭的是很重要的. 若不是闭的,结论可能不成立.