初中数学用了很大的篇幅讲述几何学，其中全等与全等三角形占据重要的地位。

在初中数学的教材上，称形状、大小都相同的图形是全等的，但是什么叫形状、大小呢？教材上根本就没有给出严格的定义。

数学这一学科追求的是用尽量少的公理覆盖一切理论，也就是说除了极少数的基本概念无法严格定义，其它所有概念都可以用且仅用这些基本概念和逻辑推理给出定义。

这样的追求决定了数学不是自然科学，不接受实验的研究方法（虽然举例子是理解概念和寻找解决问题的思路的重要手段），不能用符合实验结果或者直觉这样的依据判定结论的对错。

在初中数学里倒是给出过全等三角形的严格定义，就是对应边和对应角都相等，注意到初中的几何学以平面几何公理为公理系统，长度、角度这些概念是在这样的公理系统里给出的。

但是这种定义全等的方法只能解决三角形，对于一般的平面乃至更复杂空间上的图形如何定义全等呢？我们可以把这个问题作为对之前所学数学的一种简单的应用。

所谓平面，就是二维欧式空间。所谓平面图形，就是二维欧式空间上的非空子集。

我们考虑平面图形

假设存在
的双射
取

于是

上的点
对应于
上的点

当

全等时，在
与
之间应该具有怎样的关系？

在线性代数中，我们用正交矩阵给出在欧式空间上的正交变换，它将原来的标准正交基变成一个新的标准正交基，而所谓的标准正交就使得变换保持长度和角度不变。

根据这种意义，就可以给出平面图形间全等关系的定义。

设

是两个平面图形，则称
与
全等是指存在
的双射
和平面上的正交变换
使得对于任意
成立

这样定义的全等关系是不依赖于平面图形具体的形状的，不论是三角形还是其它什么图形，都可以按照这样的定义决定什么是全等，而且这样的定义可以简单地推广到高维情形。

在平面上取两个点

则点
与点
的连线是指集合

在平面上取三个点

使它们不共线，即不存在它们之一在其他两者的连线上，则以这三个点为顶点的三角形是指它们两两连线的并集。

在平面上取六个点

使
和
分别不共线，且满足

接下来给出证明以

为顶点的三角形与以
为顶点的三角形全等的思路。

记这两个三角形为

双射
可以取为

现在的任务就是构造正交变换

关于
成立

根据线性代数的知识，由这两个方程唯一确定了正交变换

证明留作习题。

进一步地，可以验证对于任意

成立

从而证明了构造出的

和
满足全等定义，即
全等。

举个例子。指定平面上的六个点

如本文的封面所示。此时成立

并且可以根据

解得

作为例子我们取

于是

空间三角形_如何用现代数学表述全等与全等三角形？相关推荐

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