六、最短路径——迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。由于非网图它没有边上的权值，所谓的最短路径，其实就是指两顶点之间经过的边数最少的路径；而对于网图来说，最短路径，是指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点。显然，我们研究网图更有实际意义，就地图来说，距离就是两顶点间的权值之和。而非网图完全可以理解为所有的边的权值都为1的网。

迪杰斯特拉是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。它的思路大体是这样的。

比如说要求下图中顶点v0到顶点v1的最短距离，没有比这更简单的了，答案就是1，路径就是直接vo连线到v1。

由于顶点v1还与v2、v3、v4连线，所以此时我们同时求得了vo→v1→v2=1+3=4，
v0→v1→v3=1+7=8，v0→v1→v4=1+5=6。
现在，我问v0到v2的最短距离，如果你不假思索地说是5，那就犯错了。因为边上都有权值，刚才已经有v0→v1→v2的结果是4，比5还要小1个单位，它才是最短距离。

由于顶点v2还与v4、v5连线，所以此时我们同时求得了v0→v2→v4其实就是v0→v1→v2→v4=4+1=5。这里v0→v2我们用的是刚才计算出来的较小的4。此时我们也发现v0→v1→v2→v4=5要比vo→v1→v4=6还要小。所以vo到v4目前的最小距离是5。

当我们要求v0到v3的最短距离时，通向v3的三条边，除了v6没有研究过外，

v0→v1→v3的结果是8，而v0→v4→v3=5+2=7。因此，v0到v3的最短距离是7。

好了，我想你大致明白，这个迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是如何干活的了。它并不是一下子就求出了v0到v8的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到你要的结果。

现有如下一个网，和它的邻接矩阵

现在我们看一下如何求出v0到v8的最短路径

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;#define MAXVEX 100//最大顶点数
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上的权值类型
typedef struct
{VertexType vexs[MAXVEX];//顶点表EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];//邻接矩阵int numVertexte;//当前顶点数int numEdges;//当前边数
}MGraph;void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, vector<int>& P, vector<int>& D)
{//P[i]的值为顶点i的前驱顶点//D[i]的值为v0到i的最短路径长度和vector<int> final(G.numVertexte);//final[i]=1表示已求得顶点v0到顶点i的最短路径for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i)//初始化数据{final[i] = 0;//全部初始化为未知最短路径状态P[i] = 0;D[i] = G.arc[v0][i];}D[v0] = 0;//v0至v0的路径为0final[v0] = 1;//v0至v0不需要求路径/*开始主循环，每次求得v0到某个顶点的最短路径*/for (int i = 1; i < G.numVertexte; ++i){int min = INT_MAX;//当前所知离v0顶点的最近距离int k;for (int w = 0; w < G.numVertexte; ++w)//寻找离v0最近的顶点{if (!final[w] && D[w] < min)//如果顶点w为加入最短路径，且v0到w的距离小于之前的min{k = w;min = D[w];}}final[k] = 1;//将目前找到的最近的顶点加入最短路径for (int w = 0; w < G.numVertexte; ++w)//修正当前最短路径及距离{/*此时的min就是前面找到的离v0顶点的最近距离，也就是v0~k的距离*/if (!final[w] && (min + G.arc[k][w] < D[w])){//如果顶点w还没加入最短路径且从v0->k->w的距离 小于 直接从v0->w的距离D[w] = min + G.arc[k][w];//那么就更新v0->w的距离为 v0->k->w的距离P[w] = k;//那么顶点w的前驱顶点就是k}}}
}

final数组是为了v0到某顶点是否已经求得最短路径的标记，如果v0到vi已经有结果，则final[i]=1。

最终的结果

其实最终返回的数组D和数组P，是可以得到v0到任意一个顶点的最短路径和路径长度的。例如v0到v8的最短路径并没有经过v5，但我们已经知道v0到v5的最短路径了。由D[5]=8可知它的路径长度为8，由P[5]=4可知v5的前驱顶点是v4，所以v0到v5的最短路径是V0→V1→V2→V4→V5。

也就是说，我们通过迪杰斯特拉（Dijkstra）算法解决了从某个源点到其余各顶点的最短路径问题。从循环嵌套可以很容易得到此算法的时间复杂度为 $O(n^{2})$ ，尽管有同学觉得，可不可以只找到从源点到某一个特定终点的最短路径，其实这个问题和求源点到其他所有顶点的最短路径一样复杂，时间复杂度依然是 $O(n^{2})$ 。

这就好比，你吃了七个包子终于算是吃饱了，就感觉很不划算，前六个包子白吃了，应该直接吃第七个包子，于是你就去寻找可以吃一个就能饱肚子的包子，能够满足你的要求最终结果只能有一个，那就是用七个包子的面粉和馅做的一个大包子。这种只关注结果而忽略过程的思想是非常不可取的。

可如果我们还需要知道如v3到v5、v1到v7这样的任一顶点到其余所有顶点的最短路径怎么办呢？此时简单的办法就是对每个顶点当作源点运行一次迪杰斯特拉（Dijkstra）算法，等于在原有算法的基础上，再来一次循环，此时整个算法的时间复杂度就成了 $O(n^{3})$ 。

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