MATLAB

第２８卷第５期２００７年５月

东北大学学报(自然科学版)

Ｖ０１．２８．Ｎｏ．５

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ)

Ｍａｙ

２００７

一种新的基于Ｍａｔｌａｂ环境的

同伦路径跟踪算法

惠兴杰１，李

霞２，陈一呜２

(１．东北大学秦皇岛分校，河北秦皇岛０６６００４；２．燕山大学理学院，河北秦皇岛０６６００４)

摘要：由于同伦延拓算法不需要初始值就能求出非线性方程组的解，但计算量大，为此利用Ｍａｔｌａｂ平

台和它里面的函数“＼”，采用割线预估和牛顿校正，提出了一种新的路径跟踪算法——基于Ｍａｔｌａｂ环境的同

伦路径跟踪算法．算例证明：该算法正确、简便易行、可靠性高，为同伦算法提供了简便的实现方法．关键词：同伦延拓算法；“＼”；割线预估；Ｍａｔｌａｂ；跟踪中图分类号：ＴＨ

１１３

文献标识码：Ａ

文章编号：１００５．３０２６(２００７)０５—０６２０—０３

ＡＮｅｗＨｏｍｏｔｏｐｉｃＰａｔｈ－ＴｒａｃｋｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍＢａｓｅｄ

ＨＵｌＸｉｎｇ－ｊｉｅｌ．ＬｌＸｉａ２．ＣＨＥＮＹｉ—ｍｉｎ９２

ｏｎ

Ｍａｔｌａｂ

(１．ＢｒａｎｃｈｏｆＱｉｎｈｕａｎｇｄａｏ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，

ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４，Ｃｈｉｎａ．Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｔ：ＨＵＩＸｉｎｇ－ｊｉｅ，Ｅ－ｍａｉｌ：ｒＳｃ＠ｍａｉｌ．ｎｅｕｑ．ｅｄｕ．

ｃｎ)

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｈｏｍｏｔｏｐｙｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｓｏｌｖｅｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｏｕｔｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｓ，ｂｕｔｌｏｔｓｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｈａｌｌｂｅｄｏｎｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ．ａｎｅｗｈｏｍｏｔｏｐｉｃｐａｔｈ—ｔｒａｃｋｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄ

ｏｎ

Ｍａｔｌａｂａｎｄ

ｉｔｓｆｕｎｃｔｉｏｎ“＼”ｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｕｓｉｎｇｓｅｃａｎｔ—ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎａｎｄＮｅｗｔｏｎ—

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ．Ｅｘａｍｐｌｅｓｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅ

ｏｆｆｅｒｉｎｇ

ｆｌ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓ

ｃｏｒｒｅｃｔ，ｓｉｍｐｌｅ，ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔａｎｄｒｅｌｉａｂｌｅ，ｔｈｕｓ

ｗａｙｔｏｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅａｓｉｌｙｔｈｅｈｏｍｏｔｏｐｙａｌｇｏｒｉｔｈｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｔｏｐｙ

ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；“＼”；ｓｅｃａｎｔ—ｐｒｅｄｉｃｔ；Ｍａｔｌａｂ；ｔｒａｃｋｉｎｇ

Ｍａｔｌａｂ和它里面的函数，提出了跟踪同伦路径的

对于非线性方程组的求解问题，传统数值迭代法需要选定合适的初始值，而区间分析法虽是一种大范围收敛的算法，理论上可以求出全部解，但仍需要确定合适的初值区间，同伦延拓算

法Ｌｌ＿６Ｊ不需要初始值就能求出方程组的解，为求

一个新算法．它的基础是割线预估、牛顿校正思想．因为在文献［７一１０］中用的欧拉预估，即切线预估，每步都需要矩阵求逆，而编程求一个矩阵的逆也是麻烦的，需要很多语句，而且也很费时间．为此本文提出了割线预估的算法，它的实质是通过曲线上的两点，构造线性差值并外推得到下个点，用这种方法根本无需求矩阵的逆，简化了编程过程，极大地提高了编程的效率；在用牛顿算法校正时，需要求解线性方程组，本文利用Ｍａｔｌａｂ中的一个自适应函数“＼”，编程求解非常简单，若用Ｆｏｒｔｒａｎ语言编程是非常繁琐的．最后本文还用２个具体算例，在Ｍａｔｌａｂ环境下编程，验证了这种方法的正确性和高效性，只需两步预估就得到了

方程组的解．

解非线性问题提出了可行的方法，因此被认为是２０世纪一项创造性的成果．但同伦算法有一个致命的缺陷就是计算量较大，如何提高效率是同伦算法实施的一个关键问题，而文献［７—１０］中采用Ｆｏｒｔｒａｎ语言编程进行数值计算，耗时多，强度大，使用时必须编写主程序和子程序，并且一个子程序调用时发生微小错误则可能导致最终结果的错误．但如果能利用成熟的软件，减轻强度，提高效率，使之成为同伦算法的软件是十分有意义的．为此本文利用当前流行的著名的数值计算软件包

收稿日期：２００６—０５—１５

基金项目：国家自然科学基金资助项目(６０５７４０１１)．

作者简介：惠兴杰(１９６３一)，男，河北秦皇岛人，东北大学秦皇岛分校副教授．

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