空间、维度、尺度和变换

现在我们来讨论一个虚无缥缈的概念——空间。需要说明的是，这里讨论的空间更多是认知上的（形而上的），而不是物理学的术语。对于我们处在的世界，我们常常不假思索的认为它就是我们看到的、感觉到的样子。至于这个世界实际上的构成是什么成分，有什么样的结构，它发生、变化和消亡的动力机制和终极目的是什么，我们也许永远不会有确定的答案。这些问题过于宏大，但我们又无法逃避。幸运的是数学、认知语言学、本体工程学等具体学科为我们提供了认识现实世界的框架，比如人工智能中使用的数学公式和算法，面向对象程序设计中构造的属性和函数，等等，这些经验为我们认识世界提供了实用的线索。

首先我们必须区分开的是思想意识（概念）和思想意识之外的其它存在（对象），能够意识到这一点是人类与其它动物的巨大区别。撇开价值判断的部分（即什么是对的，什么是好的）不谈，通常我们提到一个概念（即什么是什么），就会把它对应（映射）到一个对象（个体）或一类相似的对象（集合）。比如当人们提到“苹果”时，我们会在脑海里闪现它的样子；而当人们提到“水果”这个概念时，我们就会在脑海里联想到苹果、香蕉等处于同一范畴的物品。借助文字符号，我们固化了这种对应关系：概念外化为可见的文字符号，概念不但有了相应的符号作为载体（媒介），同时概念也为符号提供一个可以指向的目标（意义，即我们通常说的“含义”、“意思”）。除了语言文字，在讨论机器学习时我们还会看到如何借助数学中的“向量”来表达一个对象，此处先不展开。

一个意识之外的对象，如果不是我们主动把它从周围的环境中切割出来，它就处于与其它对象环环相扣的情景之中，对象处于变化中的什么状态，在与其它对象的联系中扮演什么角色，在此情景之外影响到对象的因素和驱动机制（比如目的和动机）又有哪些，等等，这些都需要加以分析才能明确。比如说，一个球，它不可能单独存在，它一定处于特定的环境中，它可能平放在地上，也可能正在穿越球门和篮筐，它还可能正漂浮于水面上，它甚至可能被铁锁链串起来防止随水流漂走。如果把人也作为情境之外的影响因素加以考虑，那么人们使用这个球的目的可能是用于体育比赛，或是作为水上航线上一个闪闪发光的浮标引导船只行驶，等等。

为了能够用已有的概念去定义新释衍生的概念，或者说，用熟知其意义的词语来描述新的词语，我们不仅需要用到已有的初始概念，还要关注到与现有对象存在联系（关系）的其它对象，这样才能保证新定义的概念既确切（排除无关的）又完整（不能有遗漏）。一个对象和另一个对象，它们的联系通常表现为一个对象为另一个对象某个属性的指向（通常称为该属性的值，当然这个值也可以取为同类别的其它对象）或某方面的状态变化结果。比如说，我们可以定义“低糖水果是一种与其它水果相比甜度较低的水果”，通过初始概念“水果”和比较关系“甜度相比.......较......低”这样的组合，给出“低糖水果”这个概念的定义。

而“空间”恰好就是这样的概念，我们无法给它找到一个存在于思想意识之外的、确切而具体的对应（无论是对应到单一的对象，还是对应到具有相同类型的对象集合），也无法利用别的概念或对象之间的关系进行清晰的描述。在我看来，空间可以理解为是从关注点（认识的对象）延续开来的背景（即情景、环境，context）。既然假定关注点是可认识的，就必定有不同于其它存在的差异，否则它将无法被辨认出来（就像在白茫茫的一片白雪中人们很难辨认出白色的物品）；另一方面，既然空间是延续而来的，此环境中就有与关注点相近的对象存在（比如考虑数学上的连续性，在一条线的情境中，就是从某一个点延伸开去）。“差异与相似共存”，这种辩证法式的解释（同时包含有相互矛盾的正反两方面）自然是不能让人满意的，但我们也只能就此打住，下面我们来看看空间中两个重要的概念——“维度”和“尺度”。

所谓空间的维度，可以简单的理解为空间不断延伸的方向，不同的维度就是不同的方向。我们可以想象，当一个对象与不同的对象联系在一起，它就显示出不同的侧面，扮演不同的角色，因此就表现出不同的属性。比如说，当一个苹果与地球引力联系起来时，它就具有了重量的属性；当它与光联系起来时，它就具有了颜色的属性，当它与延续方向联系起来，它就具有了形状的属性。每个属性都可能有一系列不同于其它属性的取值，这些取值可以向不同的方向延伸而去（想象一下一个持续变大的物体的长宽高）。因此，在所有属性组成的空间中，每个属性都是整个空间的一个维度，而具有这些属性的对象就是这个空间的一个点，这个点在不同维度上投射得到的取值就是该对象在对应属性上的取值。

空间的尺度，就是用来当做标准参照物的大小，其实就是每个维度上取值大小的问题。同一个物体采用不同的物体作为参考，可以是很大，也可以是很小。一颗大米，对于一个篮球来说它很小，但是对于构成大米的分子和原子来说，这颗米也是巨大无比的。又比如测量一件物品，用来测量的参考标准（长度）大小不同，测量得到的数值是不同的。比如说上面提到的篮球，相对于一颗大米来说，它是很大的，如果我们用毫米来测量，它就是几百毫米；但是相对于地球来说，一个篮球就是很小的一个点了，如果用光年（用于测量星球之间的距离）来测量，它几乎为零。对于数字来说，情况也是相似的，如果以一为单位，50000是很大数字，但是如果以万为单位，它只不过是5万而已。

有时候，我们会在同一个维度（或不同的维度）里采用不同的尺度，这时候我们就要对它们进行变换。就像我们在计算路程时把公里换算成英里，在谈论商品价格时把美元兑换成人民币一样。

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