CS269I：Incentives in Computer Science 学习笔记 Lecture 13：Introduction to Auctions（拍卖简介）

Lecture 13 Introduction to Auctions（拍卖简介）

1 Preamble（前言）

为什么计算机科学家要关心拍卖？直到最近（甚至可能仍然），提到拍卖，我们脑海中联想到的图景也是在拍卖行中的艺术品拍卖。（或者是房地产销售，或者也许是eBay）拍卖已经存在了很长时间，而且经济学家已经对此进行了50多年的认真思考。

在90年代中期至后期，计算机科学家开始关心拍卖。 eBay成立于1995年，最初所有的交易都是通过拍卖完成的。在本世纪，拍卖仍然非常重要，所有主流搜索引擎和社交网站的大部分收入都来自在线广告的实时拍卖。因此，拍卖是现代互联网经济的主要驱动力之一。如今，许多互联网公司都在定期寻找接受过计算机科学和拍卖理论培训的学生。

2 Single-Item Auctions（单件拍卖）

让我们从经典的拍卖设计问题开始：单件拍卖。考虑有一件商品的卖家，例如古董手机。这是典型的eBay拍卖中的场景。竞标者中有（待定的）n个可能有兴趣购买该物品。

我们想对同拍卖形式中的投标行为进行推理。为此，我们需要一个bider（竞标者）想要的模型。第一个关键假设是，每个投标人i都有一个估值vi——其对所售商品的最高支付意愿。此外，如果售价最多为vi，则竞标者i希望尽可能便宜地购买该物品。另一个重要的假设是，此估值是私有的，这意味着卖方和其他竞标者都不知道。

我们的竞标者效用模型称为quasilinear utility model（准线性效用模型）：如果投标人在拍卖中失败，则其效用为0；如果投标人以价格p获胜，则其效用为vi - p。这也许是最简单的实用模型，也是我们在本课程中将重点介绍的模型。

3 Sealed-Bid Auctions（密封式拍卖）

现在，我们将重点介绍一类特别简单的拍卖形式：密封式拍卖：

（1）每个投标人i都会将其出价bi私下传达给拍卖人（密封）
（2）拍卖师决定谁得到货物
（3）拍卖师决定货物出售给这个人的价格

有一种简单的方法可以执行步骤（2）——将商品提供给出价最高的人。这将是我们今天研究的唯一的选择规则。

有多种合理的方法可以执行步骤（3），且执行的方式会对投标人的行为产生重大影响。例如，假设我们非常无私，不对中标者收取任何费用。那么，这个想法适得其反，拍卖变成了“谁能说出最高的数字？”的游戏。

4 First-Price Auction

一个更合理的选择是要求中标者支付她的出价。这被称为first-price auction（高价格拍卖），这种拍卖在实践中很常见。

令人头疼的是，高价格拍卖其实很难弄明白。首先，作为参与者，很难弄清楚如何出价。其次，作为卖方或拍卖设计师，很难预测会发生什么。

为了将这一点讲清楚，请想象参加以下实验：有一件商品通过高价格拍卖出售。你的估值是你的出生月份数加上你的出生日期。因此，你的估值介于2和43之间。假设正好有另外一个投标人（从世界上随机抽出）以相同的方式确定其估值。你将提交什么出价以最大化（准线性）效用？如果你知道拍卖中还有两个其他竞标者，而不是一个，你的答案会改变吗？

5 Second-Price Auctions（次价格拍卖）

现在，让我们关注另一种拍卖形式，这种形式在实践中也是很常见的，并且更容易弄明白。

以eBay的拍卖形式为例：如果你出价100美元并赢得竞拍，你是否一定要支付100美元？不一定——例如，如果第二高的出价仅为90美元，那么你只需支付90美元多一点的钱，而不是你的出价100美元。结果是：如果你赢得了eBay拍卖，则你需要付的钱仅仅是比第二高的出价多一点的钱。

次价格拍卖（或Vickrey拍卖）基本上相当于eBay的密封竞标策略，但是其中出价最高的竞标者胜出并支付的价格等于出价第二高的出价（不会多出那一点钱了）。次级价格拍卖的最重要属性如下：

定理5.1：**在次价格密封拍卖中，每一个竞标者的占优策略都是：把他的出价设定为他的最高支付意愿价格v_i。**也就是说，对每个人来说，不管别的人怎样做，他的策略都应该是出价v_i。

直觉：假设你正在进行一次最高价拍卖，并且你对其他所有人的出价都心知肚明。你的出价会是什么？如果其他最高出价高于你的估值，你就放弃竞拍；否则，你应该比其他最高出价多一丁点（例如，1美分），就可以以最低的价格获胜。你实际上并不会心灵感应，也不知道其他出价，但拍卖师可以！在第二价格拍卖中，拍卖师实际上代替你进行了最优出价。

证明：分两种情况讨论：

（1）如果你的出价比v_i低，那么，这会降低你拍到目标物品的概率。但是，如果你拍到了目标物品，那么你付的钱是比你低的那个人的出价，那么即使你的出价维持在v_i，你也仍然能获胜，你要付的钱也不会改变，因此期望收益不变，为v_i和这个人的出价的差值（恒正）；但是如果你没有拍到物品，收益为0；但是你拍到目标物品的概率降低了，所以你的期望收益比原来低了。

（2）如果你的出价比v_i高，那么，你拍到目标物品的概率就会提升。但是，我们仔细想想提升的是哪一部分——如果第二高的出价比v_i低，那么你现在能拍到，原来也行；因此，你提升的部分是第二高的出价比v_i高的部分。这时候，你比起原来确实赢得了竞拍，但是你付的钱是第二高的出价，大于v_i，因此你虽然拍到了东西，但是收益却成了负的！

总之，上面的讨论说明，不管别人怎样，你的出价都应该与你的最高支付意愿价格v_i相同。

讨论：这个定理证明了次价格拍卖是相对容易参与的——你不需要考虑别人的出价，只要关心自己的期望价格就行了。注意，这一点和高价格拍卖非常不同——在高价格拍卖中，你的出价应该永远低于v_i（否则即使你拍到了东西也获得不了任何收益），而且你到底要出多低的价格是需要取决于别人的出价的。

经济学术语（economic jargon）：一个拥有以上性质（保持诚实是占优策略）的拍卖机制被称为具有**“dominant-strategy incentive compatible（DSIC，占优策略激励相容性）”**。

定理5.2：在次价格密封拍卖中，每个诚实的竞拍者都能够保证自己的收益非负。

证明：基于5.1的证明，显然。

经济学术语：一个拥有以上性质（保持诚实则收益非负）的拍卖机制被称为具有**“individually rational（IR，个人理性）”**。

从投标人的角度来看，上述两个属性（DSIC和IR）使确定要做什么特别容易：IR说明可以参加拍卖；DSIC说明出价为真实估价。从卖方或拍卖设计师的角度来看，这些属性使他们更容易推断拍卖结果。

我们还需要创造更多的性质来评估次价格密封拍卖的优秀程度。例如，一场永远都把物品送给第七位竞拍者的拍卖是DSIC和IR的，但是没有人知道这个竞拍者到底想不想要这个物品。这时候，我们需要引入第三个性质——自我证明。

定理5.3：在次价格密封拍卖中，如果每个人都诚实地出价，那么这个物品将会由对这个物品估值最高的人拍得。

经济学术语：具有这种特性的拍卖被称为“welfare-maximizing（福利最大化）”。

福利最大化可以被看做是帕累托最优的增强。它表明，没有什么方案能够比这种方案为所有人带来更多的价值，这个性质的直接推论就是帕累托最优性。

福利最大化的属性说明了一个惊人的事实：尽管拍卖师事先并不知道竞标者的估价，但拍卖仍然成功发掘出了估价最高的竞标者！也就是说，Vickrey拍卖就像是存在一个知道所有投标者估值的利他独裁者一样，能够有效地使福利最大化。

下面，我们把次价格密封拍卖机制“迁移”到与在线广告相关的更加复杂的背景中去。

6 Case Study: Sponsored Search Auctions

6.1 Background（背景）

一个网络搜索结果页面中会包含一个有机的搜索结果列表（由某些基本的算法求出（例如PageRank，与你查询的内容相关））和一个赞助商链接列表，这些链接已由广告商支付（如下图）。每次在搜索引擎中键入搜索查询时，系统都会实时进行拍卖，以决定哪些广告客户的链接以什么顺序显示，以及如何收费。（进行了很多次拍卖！）这种赞助搜索拍卖对互联网经济的重要性是无可比拟的。比方说：2006年左右，赞助搜索拍卖创造了Google收入的大约98％。现在，在线广告的销售方式越来越多样，但是赞助搜索拍卖每年仍可产生数百亿美元的营收。

6.2 The Basic Model of Sponsored Search Auctions（赞助搜索拍卖的基本模型）

接下来，我们将讨论一个简单但有用且有影响力的赞助搜索拍卖模型，它是由Edelman 和Varian独立发现的。在这个拍卖中，待售商品是搜索结果页面上赞助商链接的k个“slot（广告位）”，竞标者是对搜索到的关键字有稳定出价的广告商。（每个竞标者最多获得一个广告位，每个广告位也最多获得一个竞标者。）例如，沃尔沃和斯巴鲁可能是关键字“越野车”的竞标者，而尼康和佳能则可能是关键字“相机”的竞标者。这样的拍卖比单项拍卖更为复杂。首先，通常有多种商品可供出售（即k> 1）。其次，这些商品并不完全相同——搜索页面较高的位置比较低位置的位置更有价值，因为人们通常从上到下浏览页面。

我们使用“click-through-rates（CTRs，点击率）”来量化这种差异。对于任一个广告位j，其点击率αj代表的是用户点击这个广告位的概率。这样，我们可以进行合理的假设：广告位的点击量从上到下为：α1>α2>···>αk。简单起见，我们同时假设这些广告位的点击率和内容无关（尽管不太合理）。

我们假设广告商对于广告在不同页面上的展示次数并不感兴趣，他们只关心他们提供的链接上的点击量。为此，他们对每次点击都具有私下的一个估值vi（第i个广告商）。因此，广告位j对广告商i的期望价值为viαj。

6.3 Digression

值得注意的是，按点击付费的广告确实是个好主意。商业互联网在按点击付费之前有大约5年的历史，在这段历史中，他们大多数使用老式的方法，例如签订合同以在时间窗z上以p的价格显示广告商y的x次展示。大量的这些合同的谈判对每个人都是痛苦的，因此每个人都乐于采用按点击付费的模式。

广告客户之所以高兴，是因为他们只需要为点击量付费（而不是为展示次数付费），从而降低了风险，并且广告可以定位到最有可能点击它的用户（例如，他们搜索“相机”而广告客户是Nikon），而签合同时这些用户可能会被强迫观看玩具枪广告。同时，搜索引擎借此避免了固定价格的长期合同，取而代之的是有竞争性的定价行为。甚至用户也更开心，因为他们更可能会看到与其目标高度相关的广告。

6.4 What We Want

赞助搜索拍卖是否和次价格密封拍卖是否一样好用？我们迫切需要的性质是：

（1）DSIC和IR：每个人的占优策略都是诚实竞拍，而且永远不会得到负的收益

（2）福利最大化：分配给竞拍者的总收益Σv_i*α_s(i)最大。

6.5 Assigning Bidders to Slots

让我们从第二个目标开始：我们应该怎么给竞标者分配广告位来最大化社会福利？显然，贪婪算法是个不错的东西：给第一个广告位分配出价最高的广告，第二个分配第二高的，……，第k个分配第k高的。

根据排序不等式，我们知道这样的分配会最大化福利。

6.6 Choosing the Payments（选择收费方式）

我们已经拓展完成了第二个目标。那么第一个呢？应该如何通过恰当的拍卖制度设计来激励人们完成第一个目标？

也许最自然的尝试是：对于每个广告位j = 1,2,…,k，向第i个出价者收取第(i + 1)个出价的费用。 当k = 1时，这正是次价格密封拍卖。该拍卖称为**Generalized Second Price（GSP，通用第二价格）**拍卖。它一直是赞助搜索中的主要范例。例如，当Google于2002年首次推出Adwords时，他们就使用了GSP拍卖（受Overture的启发）。这个方法很快被其他主要搜索引擎（Yahoo，Bing等）采用。

当Google于2001年开发GSP时，Google尚未聘用任何经济学家。当时，计算机科学家尚未真正研究过拍卖。那么，为什么要使用GSP？该决定是由负责构建系统的工程师以及出于工程原因而做出的。他们开始时考虑的是高价格拍卖，但推测这将导致自动出价代理商不断更新出价——代理商会不断寻找维持当前位置所需的最低出价（并且这实际上是在Overture的按需出价拍卖中曾经发生过的事情。这种更新会对Google服务器造成有害且毫无意义的负载。为了解决这个问题，只要保证自动将出价者的出价降低到维持其排名所需的最低金额即可。

6.7 Are GSP Auctions Truthful?

现在，我们来讨论一下GSP是否具有我们要求的第一个性质（DSIC，IR）：

我们知道在k=1的时候GSP确实是DSIC的（退化为次价格密封拍卖）。但是，k=2呢？我们举个例子：假设α1= 0.1且α2= 0.05，并且有三个竞标人的估值分别为v1 = 10，v2 = 9和v3 =6。假设第二和第三个竞标人诚实地进行出价，那么第一个竞标人也应该如实出价吗？如果她这样做了（b1 = 10），那么她的预期效用（每次展示）为0.1（10 - 9）= 0.1，因为第二高的出价是9。如果她退而求其次，竞争第二个广告位（例如b1 = 8），则她获得的点击次数较少（0.1->0.05），但价格却便宜得多（9->6），她的期望效用是0.05（10-6）= 0.2，是以前的两倍。因此，我们可以得出结论——GSP拍卖不是DSIC的。它可以鼓励人们以较低的价格获得较少的点击量。

那么，有没有能够导致DSIC的拍卖机制呢？我们在下一讲中会揭示答案……