CS269I：Incentives in Computer Science 学习笔记 Lecture 15 The VCG Mechanism（VCG机制）

Lecture 15 The VCG Mechanism（VCG机制）

1 GSP vs VCG

作为本讲的开始，我们来证明上一讲中的一个重要结论：

回忆一下背景：有k个广告位，它们的点击率排布为) α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥αk，每一个竞标者会为每一次点击出价v_i.

我们最初的尝试是把次价格密封拍卖直接推广，就得到了GSP；但是如果我们使用更加经济的“外部性”，就可以得到新的拍卖策略：VCG.

定理1.1：对于任意的估值和点击率，GSP都具有一个和每个人都诚实报价（truthful，真实的）的VCG结果等价的均衡。“等价”的意思是说，竞标者到广告位的分配是相同的，而且获得的总收益也相同。

讨论这个定理并没有断言均衡是唯一的，也没有断言所有均衡都等于真实的VCG结果。我们上一讲最后的两个例子表明，在任意均衡状态下进行GSP拍卖的收入可以比真实的VCG结果或高或低。

在开始我们的证明之前，我们需要先对VCG的定价策略进行更加深入的理解。下一个引理描述了VCG的定价的一些性质。简单起见，我们假设从现在开始CTR（点击率）都是按照单调递增排序的，而且每个人的估价都不相同。

引理1.2：（VCG定价的性质）

对竞标者重新排序，使得v_1>…>v_n，并且假设α_1>…>α_k，令：
pi=1αi∑j=i+1k+1vj(αj−1−αj)p_i=\frac{1}{\alpha_{i}} \sum_{j=i+1}^{k+1} v_{j}\left(\alpha_{j-1}-\alpha_{j}\right) pi=αi1j=i+1∑k+1vj(αj−1−αj)
为VCG拍卖中第i个广告位的单次点击需要付出的费用。

那么：
(a)pi<vi+1for every i=1,2,…,k(a)\ \ \ p_{i}<v_{i+1}\ \text{ for every}\ \ i=1,2, \ldots, k (a) pi<vi+1 for every i=1,2,…,k

(b)p1>p2>⋯>pk(b) p_{1}>p_{2}>\cdots>p_{k} (b)p1>p2>⋯>pk

(c)αi(vi−pi)≥αl(vi−pl)(c)\ \ \alpha _i(v_i-p_i) \geq \alpha_l(v_i-p_l) (c) αi(vi−pi)≥αl(vi−pl)

其中（c）是指p_i满足“不嫉妒”，即对任意的i和l，比起第l个广告位，第i个竞标者都更愿意使用第i个广告位。

证明：（a）显然：使用单调性和加权平均即证

（b）注意到：
αi+1(vi+1−pi+1）=αi(vi+1−pi)\alpha _{i+1} (v_{i+1}-p_{i+1}）=\alpha_i(v_{i+1}-p_i) αi+1(vi+1−pi+1）=αi(vi+1−pi)
因此，由于v_{i+1}>p_i，α_i>α_{i+1}，即有p_i>p_{i+1}

（c）：不妨设l>i（l<i对称），则相当于证明：
αipi−αlpl≤vi(αi−αl)\alpha _i p_i-\alpha _l p_l \leq v_i(\alpha _i -\alpha _l) αipi−αlpl≤vi(αi−αl)
根据（b）中的恒等式：
αi+1pi+1−αipi=vi+1(αi+1−αi)\alpha_{i+1} p_{i+1}-\alpha_ip_i=v_{i+1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i) αi+1pi+1−αipi=vi+1(αi+1−αi)
求和立得。

回到原定理：

我们使用“猜测法”。令p_i表示在VCG中应该付出的价钱，那么根据上一讲的例子我们可以猜测b_i=p_{i-1}（i=2~k+1）是一个均衡。这样，在GSP中一旦使用次价格密封，第i个人就应该付b_{i+1}。也就是p_i，这样便达到了均衡。为了完整性，令b_i=v_i，对于i=1和i>k+1.

这样，根据引理（b），b_1>b_2>…>b_n。此时，GSP拍卖的结果和真实的VCG是相同的。但是，我们还要证明在VCG中这是一个均衡。

否则，假设有一个人的出价偏移为b_i’，且广告位偏移至了l，则：

1°l>i：广告位发生后移，则有b_i’∈(b_{l+1},b_l)，并且在i+1,…,l的广告位的竞价者都向前移位。这样，偏移导致的结果就是他付的钱变成了第l+1个人的出价b_{l+1}=p_l，因此根据引理（c），我们知道这对他造成了损害。

2°l<i：略有不同，但是基本同上，就不啰嗦了。

2 Beyond Sponsored Search（超越赞助搜索）

赞助搜索拍卖仍然是互联网广告的重要组成部分，但是在过去的5年多的时间里，一些公司已经开发了针对更复杂场景的实时拍卖。与GSP拍卖相比，VCG拍卖更容易推广到复杂的环境，因此，在实践中，VCG拍卖的推广策略越来越普遍。

例如，Facebook上的广告与到目前为止我们关注的基本赞助搜索拍卖有何不同？这个问题有很多答案。例如，确定赞助广告拍卖中哪些广告“相关”很大程度上取决于用户的搜索查询，而Facebook为此必须使用其他信息（例如用户的朋友，近期活动等）。此外，与通过赞助的搜索拍卖相比，广告与Facebook中的自然结果更直接地进行竞争。另一个区别是，Facebook广告具有不同的大小和格式，而不仅仅是每个链接占用一个广告位的赞助商链接。最后，Facebook允许广告客户不仅对点击进行出价，而且还对其他许多事件（例如，应用的点赞或下载）进行出价。

2.1 Dynamic Resizing（动态调整大小）

让我们深入探讨两个实际问题，这些问题导致了GSP拍卖到VCG拍卖的变化（一个在Google，一个在Facebook）。

第一个问题是动态调整广告大小。此处的激励方案是，有一个相关广告比所有其他广告都好得多（这很常见）。在标准赞助的搜索拍卖中，好的广告将获得最好的广告位，其余则顺次获得。但是您可能想做一些更极端的事情，例如，展示更大版本的好广告，而根本不展示其他广告。调整大小可以带来比标准竞价更高的点击率。但是，在动态调整大小的情况下，点击率不是固定的，取决于平台选择的布局。这会造成影响吗？

回顾赞助商的搜索讨论，谁需要跟踪广告位的点击率？在GSP拍卖中，卖方无需知道点击率——-第j个广告位的付款是第（j + 1）个最高出价，无论点击率是多少。但是，投标人需要了解点击率。例如，回想一下GSP并不具有真实性的基本原因：投标人可能希望落到较低的广告位，从而以更便宜的价格获得更少的点击次数。这样做的成本效益分析取决于较低广告位的点击率与当前广告位的点击率的比例。但是，在VCG拍卖中，情况是相反的。投标者无需了解点击率——无论点击率是多少，最佳出价就是真实的出价。卖方确实需要知道点击率，才能计算出正确的付款。谁最了解点击率？通常是卖方。例如，搜索引擎拥有有关广告客户拥有的CTR的所有信息，还有额外的更多信息。这表明，在赞助搜索中，VCG拍卖要优于GSP拍卖。一旦CTR甚至不固定（与动态调整大小一样），使用VCG的动机就变得更加强大。因此，谷歌现在也使用VCG拍卖出售“上下文广告” 。这是针对在nytimes.com或cnn.com之类的第三方网站（而不是Google搜索结果页）上投放广告的拍卖机制。

2.2 Different Event Types（不同项目类型）

Facebook上的广告客户可以为点击，点赞，应用下载和许多其他事件出价。然后，广告客户为每个事件付费，无论它选择竞标哪个事件。当不同事件之间存在简单关系时，例如，如果点击的概率始终是同类事件发生概率的两倍，那么GSP拍卖就可以处理此扩展。然而，根据经验，事件之间并不可能存在简单关系。不同的事件，例如，某些类型的事件的概率（随新闻流逝）在质量上的衰减要快于其他事件。这意味着，即使假设出价是真实的，也不能再保证贪婪地将广告客户分配给广告位，以最大限度地提高社会福利。因此，Facebook的在线广告系统是基于VCG拍卖的。

3 The General VCG Mechanism（普遍的VCG机制）

VCG拍卖事实上只是非常普遍的**VCG Mechanism（VCG机制）**的一个特殊情况。为了引入普遍的VCG，我们需要先设定以下背景：

n个理性的参与者（Facebook中的广告商）
一个关于结果（outcome）的有限集合Ω（排列动态赞助内容的所有可能布局）
每个参与者i对于每个结果ω∈Ω都有一个私下估值vi(ω)

结果集Ω可以非常巨大。在单件拍卖中，Ω只有(n+1)种选择——第i个人赢得拍卖/没有任何人赢得拍卖。而在赞助搜索中，Ω的值就是所有可能的分配广告位给竞标者的可能方式。（指数级别）而Facebook上的动态广告还要更加复杂。

虽然常规背景下允许每个投标人对每个结果有不同的评估，但是在实际应用中，我们进行一些简化的假设：例如，在单项拍卖中，只要不是赢家，我们就假设vi(ω)= 0。在赞助搜索拍卖中，我们假设vi（ω）仅（线性地）取决于i在ω中获得的点击率。在Facebook拍卖中，结果与赞助内容的页面布局相对应，明智的做法是假设：
vi(ω)=(value of an event )⋅(Pr⁡[event occurs in ω])v_{i}(\omega)=(\text { value of an event }) \cdot(\operatorname{Pr}[\text { event occurs in } \omega]) vi(ω)=( value of an event )⋅(Pr[ event occurs in ω])

（对于i选择去出价的项目）。Facebook为从数据中精确地估计出上式中的概率付出了极大的努力。

于是，普遍VCG可以被概括如下：

从每个竞标者那里获取每个项目ω的b_i(ω)的信息。
选出结果ω*，使得社会福利函数：
∑i=1nbi(ω)\sum_{i=1}^{n} b_{i}(\omega) i=1∑nbi(ω)
达到所有ω中的最大值。
向每个竞标者i收取其外部性的费用，即：
pi=(max⁡ω∈Ω∑j≠ibj(ω))⏟without i−∑j≠ibj(ω∗)⏟with ip_{i}=\underbrace{\left(\max _{\omega \in \Omega} \sum_{j \neq i} b_{j}(\omega)\right)}_{\text {without } i}-\underbrace{\sum_{j \neq i} b_{j}\left(\omega^{*}\right)}_{\text {with } i} pi=without i⎝⎛ω∈Ωmaxj=i∑bj(ω)⎠⎞−with ij=i∑bj(ω∗)

显然，你在VCG赞助拍卖中所使用的的正是这种普遍VCG的特殊形式，因为你在VCG中要求每个人支付的也同样是等同于其外部性的价格。

显然，VCG支付价格永远是非负的，因为当ω=ω*时，p_i=0，但是p_i中实际取的是使得Σ最大的ω，因此必然有p_i非负。

定理3.1：VCG机制是真实的（truthful），也就是说诚实地出价是每个竞标者的占优策略。

证明：如果我们选择的结果是ω‘，那么第i个人的效用就是：
vi(ω′)−pi=[vi(ω′)+∑j≠ibj(ω∗)]⏟(A)−[max⁡ω∈Ω∑j≠ibj(ω)]⏟(B).v_{i}\left(\omega^{'}\right)-p_{i}=\underbrace{\left[v_{i}\left(\omega^{'}\right)+\sum_{j \neq i} b_{j}\left(\omega^{*}\right)\right]}_{(\mathrm{A})}-\underbrace{\left[\max _{\omega \in \Omega} \sum_{j \neq i} b_{j}(\omega)\right]}_{(\mathrm{B})} . vi(ω′)−pi=(A)⎣⎡vi(ω′)+j=i∑bj(ω∗)⎦⎤−(B)⎣⎡ω∈Ωmaxj=i∑bj(ω)⎦⎤.
我们注意（B）总是一个定值，不管b_i是多少。因此我们只要考虑v_i在取什么值的时候能够使（A）最大。但是，我们注意到，ω*的选取是使得Σb_i(ω)最大的一个ω，而在选取过程中i只有通过给出恰当的b_i(ω)来操控结果。

但是，我们注意到，对于给定的ω，v_i(ω)也是一个定值，不是这个人可以决定的。所以，事实上，如果i在操控ω*的话，他事实上只能希望通过操控ω*的选取，来使得在所有值固定的

vi(ω′)+∑j≠ibj(ω′′)v_{i}\left(\omega^{'}\right)+\sum_{j \neq i} b_{j}\left(\omega^{''}\right) vi(ω′)+j=i∑bj(ω′′)
中取得最大值。考虑到ω*的选取是通过取Σb_i(ω)最大，因此显然如果他诚实地令b_i(w)=v_i(w)，就能在w=w*时取到上式的最大值。证毕！

4 Some Practical Issues（一些实践上的问题）

在实践中，事实上VCG的实施存在很多阻碍，我们来考虑其中的两个：

首先，VCG机制的主要挑战是竞标用户接口的设计。通常存在大量（例如，指数）可能的结果ω，在这种情况下，不可能让竞标者为每个结果出价。例如，在赞助搜索拍卖中，竞标者只会提交对每次点击的出价。从这个结果可以推断出其对每个可能的结果的出价，即其对每次点击的出价乘以其在给定结果中获得的预期点击次数。该用户界面实用地假设出价者只关心点击，而其他所有东西都是次要的。

通常，竞标接口设计旨在在表达性和简单性之间达到微妙的平衡。理想的情况是：投标人有足够的灵活性来表达自己的喜好，同时这种喜好又足够简单易用且可以实施。例如，为了更好地容纳各种广告客户，Facebook希望允许提供更多的售卖内容，而不仅仅是每次点击出价。他们选择的平衡是：投标人可以在该接口中选择他们关心的项目以及每个项目的价值（以及每日预算）。

实现VCG机制的第二个挑战来自其计算要求。例如，Facebook必须在用户的每次访问时进行一次拍；每天进行的拍卖总次数可能会超过10亿次。因此，这些拍卖越快越好！那么，实现VCG机制需要多少计算？

VCG机制的第二步必须解决社会福利最大化问题。 VCG机制的第三步必须解决n个以上的社会福利最大化问题。在赞助搜索中，将社会福利最大化可以简化为分类问题，因此计算(n + 1)个问题并不重要。但是对于Facebook来说，存在许多可能的页面布局以及不同事件的不同概率，因此运算社会福利最大化问题并非易事。有传言称，Facebook没有足够的时间来给出VCG的社会最大化问题的准确解，因此采纳了启发式函数来辅助运算

当用不精确的启发式方法代替确切的福利最大化时，VCG机制可能会出错。例如，该机制不再是真实的。