本文主要探讨简单的数学算术表达式求值算法的原理和实现。

1. 约束

本文只是探讨简单的算术表达式的求值算法，为了将主要精力放在算法思想的探讨和实现上，避免陷入对其他不是直接相关的细节的过多思考，所以提前做如下约束：

本文所讨论的算术表达式字符串中每个运算数、运算符之间都有空白符分隔开(方便后面用python字符串的split函数分割处理成列表)。

算术表达式中参与运算的运算数都为1位整数。

表达式中的运算符都为二元运算符(即一个运算符需要两个运算数)，不会出现其他元的运算符(如一元运算符负号：-)。

运算的中间结果和最终结果也都为整数，且都不会产生异常(如除数为0等)。

暂且只支持如下几种运算符：+ - \* / ( )

2. 中缀表达式与后缀表达式

算术表达式，根据运算符和运算数的相对位置不同，可以分为三种：前缀表达式(prefix)、中缀表达式(infix)和后缀表达式(postfix)，其中后缀表达式又称为逆波兰式，在本文中只讨论中缀和后缀表达式。

中缀表达式：就是我们平时常见的算术表达式，如1 + 2 \* 3，( 1 + 2 ) \* 3这样的运算符在运算数中间的表达式，中缀表达式的特点是符合人的理解习惯，并且可以加小括号改变运算的先后顺序。但缺点是如果用编程来求值的话比较困难。

后缀表达式：是将中缀表达式进行变换后得到的表达式，如1 2 3 \* +，1 2 + 3 \*这样的运算符在运算数后面的表达式，后缀表达式的特点是虽然不符合人的理解习惯，但编程来求值却很方便，且没有括号的烦恼。

后缀表达式因为不需要括号，所以编程求值起来比较方便，下面将先从如何对后缀表达式求值讲起。

3. 后缀表达式求值

1. 核心算法：

创建一个空栈，名为numstack，用于存放运算数。

用python字符串的split函数将输入的后缀表达式(postfix)分割为列表，将该列表记为input。

从左到右遍历input的每一个元素token：

若token为运算数，将其转换为整数并push进numstack；

若token为运算符，则将numstack pop两次，将第一次pop得到的数作为运算符的右操作数，将第二次pop得到的数作为运算符的左操作数，然后求出运算结果，并将结果push进numstack；

遍历完input后，numstack仅剩下一个元素，这就是表达式的最终求值结果，pop出这个元素，算法结束。

2. 举例

比如求4 5 6 \* +这样一个后缀表达式的值(注：其前缀表达式为：4 + 5 \* 6，值为34)，按照上述算法，过程如下：

No.

operator

numstack

1

4

2

4 5

3

4 5 6

4

*

4 5 6

5

4 30

6

+

4 30

7

34

所以最终的表达式求值结果为：34

3. 代码实现

# 准备工作：创建一个栈类

class Stack():

def __init__(self):

self.data = []

def __str__(self):

return str(self.data)

__repr__ = __str__

def pop(self):

if len(self.data) != 0:

return self.data.pop()

return None

def push(self,e):

self.data.append(e)

def clear(self):

del self.data[:]

# 获取栈顶元素，但不弹出此元素

def peek(self):

if len(self.data) != 0:

return self.data[-1]

return None

# 判断栈是否为空

def empty(self):

return len(self.data) == 0

# 求值函数

def get_value(num1,op,num2):

if op == '+':

return num1 + num2

elif op == '-':

return num1 - num2

elif op == '*':

return num1 * num2

elif op == '/':

return num1 / num2

else:

raise ValueError('invalid operator!')

# 后缀表达式求值函数

def get_postfix_value(postfix):

# 1. 创建一个运算数栈

numstack = Stack()

# 2. 分割postfix

inPut = postfix.strip().split() # 注：因为'input'是内置函数名，所以用'inPut';strip函数的作用是去掉字符串的开始和结尾的空白字符

# 3. 遍历inPut

for token in inPut:

# 3.1 如果token为运算数

if token.isdigit():

numstack.push(int(token))

# 3.2 如果token是运算符

else:

num2 = numstack.pop()

num1 = numstack.pop()

numstack.push(get_value(num1,token,num2))

# 4. 输出numstack的最后一个元素

return numstack.pop()

# 后缀表达式

# 注：对应的中缀表达式为：(1+2)*(3+4)，运算结果为：21

postfix = '1 2 + 3 4 + *'

print '【Output】'

print get_postfix_value(postfix)

【Output】

21

4. 中缀表达式转后缀表达式

1. 核心算法

创建一个空栈opstack，用于存放运算符，创建一个空列表output用于保存输出结果。

使用python字符串的split函数将输入的中缀表达式(infix)字符串分割成列表并存入input列表中。

从左到右遍历input列表的每个元素token：

若token是运算数，直接append到output中；

若token是运算符，先判断它与opstack栈顶元素的运算优先级(注：小括号的优先级约定为最低)，若：token的优先级小于等于栈顶元素优先级，则先从opstack中pop出栈顶元素并append到output，再将token push进opstack；否则直接将token push进opstack；

若token是左括号，直接将其push进opstack；

若token是右括号，依次pop出opstack中的元素并依次append到output，直到遇到左括号，将左括号继续pop出(但不append到output)。

当遍历完成input，将opstack中所有的剩余元素pop出并依次append到output。

将output转换为字符串，即为最终求得的后缀表达式。

2. 举例

比如将(A+B)\*C这样一个中缀表达式转换为后缀表达式(其中A,B,C表示整数)，按照上述算法，转换过程如下：

No.

opstack

output

1

(

2

(

A

3

(+

A

4

(+

A B

5

A B +

6

*

A B +

7

*

A B + C

8

A B + C *

所以最终求得的后缀表达式为：A B + C *

3. 代码实现

# 准备工作：创建一个栈类

class Stack():

def __init__(self):

self.data = []

def __str__(self):

return str(self.data)

__repr__ = __str__

def pop(self):

if len(self.data) != 0:

return self.data.pop()

return None

def push(self,e):

self.data.append(e)

def clear(self):

del self.data[:]

# 获取栈顶元素，但不弹出此元素

def peek(self):

if len(self.data) != 0:

return self.data[-1]

return None

# 判断栈是否为空

def empty(self):

return len(self.data) == 0

# 求值函数

def get_value(num1,op,num2):

if op == '+':

return num1 + num2

elif op == '-':

return num1 - num2

elif op == '*':

return num1 * num2

elif op == '/':

return num1 / num2

else:

raise ValueError('invalid operator!')

# 将中缀表达式转换为后缀表达式的函数

def infix2postfix(infix):

# 1. 创建运算符栈和输出结果列表

opstack = Stack()

output = []

# 准备一个运算符优先级字典，其中左小括号的优先级最低

priority = {'(' : 0,'+' : 3,'-' : 3,'*' : 4,'/' : 4}

# 2. 分割infix

inPut = infix.strip().split()

# 3. 遍历inPut

for token in inPut:

# 3.1 若token是运算数

if token.isdigit():

output.append(token)

# 3.2 若token是运算符

elif token in ['+','-','*','/']:

if not opstack.empty() and priority[token] <= priority[opstack.peek()]:

output.append(opstack.pop())

opstack.push(token)

# 3.3 若token是左括号

elif token == '(':

opstack.push(token)

# 3.4 若token是右括号

elif token == ')':

while opstack.peek() != '(':

output.append(opstack.pop())

# 弹出左括号

opstack.pop()

else:

raise ValueError('invalid token:{0}'.format(token))

# 4. 将opstack中剩余元素append到output

while not opstack.empty():

output.append(opstack.pop())

# 5. 将output转换为字符串(每个元素用空格隔开)并输出

return ' '.join(output)

infix = '( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 )'

print '【Output】'

print infix2postfix(infix)

【Output】

1 2 + 3 4 + *

5. 整理：中缀表达式求值

1. 核心算法

经过前面的讨论，那么现在求中缀表达式的值就很简单了，分为两步：第1步，将中缀表达式转换为对应的后缀表达式；第2步，对后缀表达式求值。

2. 完整代码实现

# 准备工作：创建一个栈类

class Stack():

def __init__(self):

self.data = []

def __str__(self):

return str(self.data)

__repr__ = __str__

def pop(self):

if len(self.data) != 0:

return self.data.pop()

return None

def push(self,e):

self.data.append(e)

def clear(self):

del self.data[:]

# 获取栈顶元素，但不弹出此元素

def peek(self):

if len(self.data) != 0:

return self.data[-1]

return None

# 判断栈是否为空

def empty(self):

return len(self.data) == 0

# 求值函数

def get_value(num1,op,num2):

if op == '+':

return num1 + num2

elif op == '-':

return num1 - num2

elif op == '*':

return num1 * num2

elif op == '/':

return num1 / num2

else:

raise ValueError('invalid operator!')

# 将中缀表达式转换为后缀表达式的函数

def infix2postfix(infix):

# 1. 创建运算符栈和输出结果列表

opstack = Stack()

output = []

# 准备一个运算符优先级字典，其中左小括号的优先级最低

priority = {'(' : 0,'+' : 3,'-' : 3,'*' : 4,'/' : 4}

# 2. 分割infix

inPut = infix.strip().split()

# 3. 遍历inPut

for token in inPut:

# 3.1 若token是运算数

if token.isdigit():

output.append(token)

# 3.2 若token是运算符

elif token in ['+','-','*','/']:

if not opstack.empty() and priority[token] <= priority[opstack.peek()]:

output.append(opstack.pop())

opstack.push(token)

# 3.3 若token是左括号

elif token == '(':

opstack.push(token)

# 3.4 若token是右括号

elif token == ')':

while opstack.peek() != '(':

output.append(opstack.pop())

# 弹出左括号

opstack.pop()

else:

raise ValueError('invalid token:{0}'.format(token))

# 4. 将opstack中剩余元素append到output

while not opstack.empty():

output.append(opstack.pop())

# 5. 将output转换为字符串(每个元素用空格隔开)并输出

return ' '.join(output)

# 后缀表达式求值函数

def get_postfix_value(postfix):

# 1. 创建一个运算数栈

numstack = Stack()

# 2. 分割postfix

inPut = postfix.strip().split() # 注：因为'input'是内置函数名，所以用'inPut';strip函数的作用是去掉字符串的开始和结尾的空白字符

# 3. 遍历inPut

for token in inPut:

# 3.1 如果token为运算数

if token.isdigit():

numstack.push(int(token))

# 3.2 如果token是运算符

else:

num2 = numstack.pop()

num1 = numstack.pop()

numstack.push(get_value(num1,token,num2))

# 4. 输出numstack的最后一个元素

return numstack.pop()

# 中缀表达式求值函数

def get_infix_value(infix):

postfix = infix2postfix(infix)

return get_postfix_value(postfix)

infix = '( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 )'

print '【Output】'

print get_infix_value(infix)

【Output】

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