sinx + cosx 的极大值和极小值

理论推导
图像

今天遇到了一个问题，就是如何求解 sin ⁡ x + cos ⁡ x \sin{x} + \cos{x} sinx+cosx 的极大值和极小值。这里特来记录一下。

理论推导

首先，我们假设：
sin ⁡ x + cos ⁡ x = R sin ⁡ ( x + α ) (1) \sin{x} + \cos{x} = R\sin{\left ( x+\alpha \right ) } \tag{1} sinx+cosx=Rsin(x+α)(1)
展开（1）式后我们可以得到：
sin ⁡ x + cos ⁡ x = R cos ⁡ α sin ⁡ x + R sin ⁡ α cos ⁡ x (2) \sin{x} + \cos{x} = R\cos{\alpha}\sin{x} + R\sin{\alpha}\cos{x} \tag{2} sinx+cosx=Rcosαsinx+Rsinαcosx(2)
从（2）式我们可以得到：
R cos ⁡ α = 1 R sin ⁡ α = 1 \begin{align} R\cos{\alpha} &= 1 \tag{3} \\ R\sin{\alpha} &= 1 \tag{4} \end{align} RcosαRsinα=1=1(3)(4)
对（3）和（4）式进行平方并加和可得：
R 2 cos ⁡ 2 α + R 2 sin ⁡ 2 α = 1 2 + 1 2 R 2 ( sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α ) = 2 \begin{align} R^2\cos^2{\alpha} + R^2\sin^2{\alpha}&= 1^2 + 1^2 \nonumber \\ R^2 \left ( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} \right ) &= 2 \tag{5} \end{align} R2cos2α+R2sin2αR2(sin2α+cos2α)=12+12=2(5)
从（5）式可得：
R = 2 (6) R = \sqrt{2} \tag{6} R=2 (6)
将（6）式代入（3）和（4）式可得：
cos ⁡ α = 2 2 sin ⁡ α = 2 2 \begin{align} \cos{\alpha} &= \frac{\sqrt{2}}{2} \tag{7} \\ \sin{\alpha} &= \frac{\sqrt{2}}{2} \tag{8} \end{align} cosαsinα=22 =22 (7)(8)
结合（7）式和（8）式最终可得：
α = π 4 (9) \alpha = \frac{\pi}{4} \tag{9} α=4π(9)
将（9）式和（6）式代入（1）中可得：
sin ⁡ x + cos ⁡ x = 2 sin ⁡ ( x + π 4 ) (10) \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin{\left ( x+\frac{\pi}{4} \right ) } \tag{10} sinx+cosx=2 sin(x+4π)(10)
通过（10）式可以看出， sin ⁡ x + cos ⁡ x \sin{x} + \cos{x} sinx+cosx 的最大值为 2 \sqrt{2} 2 ，最小值为 − 2 -\sqrt{2} −2 。

图像

如果我们做一下它的图像，我们可以得到：

图像也验证了我们的理论推导。

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