matlab 线性方程 lu分解法_数值计算笔记-LU分解

补充：

矩阵算子范数：设

，对于某种给定的向量范数

．矩阵的算子范数为
矩阵1-范数：
矩阵2-范数：
矩阵
-范数：

1.问题条件数：解方程组

，已知

，求

（1）

有扰动变成

，则

；下证

（2）A右扰动，变成

，可证

（3）定理：上述条件数统称为矩阵的条件数，记为cond(A)，可证

（4）条件数有如下性质

若A为非奇异矩阵

若D为对角矩阵：
采用2-范数：
若Q为正交矩阵

2.基本高斯消元（行变换不能交换两行）

（1）算法：消去过程

输入：A，

输出：上三角矩阵A，改变后的

for k = 1 to n-1for i = k + 1 to nc = - a_ik / a_kkfor j = k + 1 to n    //该循环即为初等行变换，a_ij = a_ij + c * a_kj //将矩阵的一行乘c，加到另一行上endb_i = b_i = c * b_kend
end

注：这里采用原地工作的方式，上三角矩阵U = 计算得到的A

（2）带回过程（解方程

输入：

输出：

for i = n to 1x_i = b_ifor j = n to i + 1x_i = x_i - u_ij * x_jendx_i = x_i / u_ii
end

注：

其中计算

的公式为
上面两个算法要求A在高斯化简得过程中不会出现主元
的现象

3.高斯-若当消元法

思路：高斯若当消元法其实没有什么改变，仅仅是将

矩阵A化简为单位矩阵，在这里以求单位矩阵的过程举例

输入：A，B = I

输出：

for k = 1 to nfor j = k + 1 to n   //对矩阵A的行归一化a_kj = a_kj / a_kkendfor j = 1 to k    //对矩阵B进行相同的操作b_kj = b_kj / a_kkendfor i = 1 to n (i != k)for j = k + 1 to n    // 对A进行行变化a_ij = a_ij - a_ik * a_kjendfor j = 1 to k  //对B进行相同的行变化b_ij = b_ij - a_ik * b_kjendend
end

注：同样要求在高斯消元过程中

不能为0

4.消去矩阵：

有下面的形式，则称

为第k类n阶消去矩阵，

称为消去过程的乘数

性质：

，可以看作初等矩阵经过n - k次行变换的结果
可以看作A在进行高斯消元时，到第k行的行变换过程
消去矩阵为单位下三角矩阵，且为非奇异矩阵
消去矩阵
的逆
也为单位下三角矩阵，他们的乘积为每个矩阵元素的”并“

5.LU分解

推导：经过行列变化

，A变换成上三角矩阵U，化简方程得到

定理：

存在唯一的LU分解的充要条件为，高斯消元中主元

算法：高斯消去过程进行LU分解

输入：A

输出：A（其中包含了L，U矩阵）

for k = 1 to n - 1for i = k + 1 to na_ik = a_ik / a_kk //计算L中元素并储存在A中for j = k + 1 to na_ij = a_ij - a_ik * a_kjendend
end

直接LU分解推导：

（1）A第1行：

（2）A第1列：

（3）A第k行：

（4）A第k列：

算法：LU直接分解法

输入：A，n

输出：A（L，U矩阵储存在A中）

for k = 1 to n - 1for i = k + 1 to n  //这两个嵌套循环计算L矩阵第k列for j = 1 to na_ik = a_ik - a_jk * a_ijenda_ik = a_ik / a_kkendfor j = k + 1 to n //计算U矩阵的第k + 1列for i = 1 to ka_k+1,j = a_k+1, j - a_k+1,i * a_ijendend
end

5.LU分解用途：

解方程

其中

用

单位下三角方程组算法求解，

用高斯消元代回算法求解

单位下三角方程组求解

输入：单位下三角矩阵L，

输出：

for i = 1 to ny_i = b_ifor j = 1 to i - 1y_i = y_i - l_{ij} * y_jend
end

注：

实际计算公式为

用LU分解计算多个方程组

时，只用分解一次复杂度为

，之后每次计算复杂度都为

；但是高斯消元每次计算都有

的复杂度

6.基本高斯消元的充要条件：

高斯消元过程中不出现

的充要条件为A的前n - 1个顺序主子式不为0

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