数学分析原理定理 6.10

假设$f$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，$\alpha$在$f$的每个间断点上连续，那么$f\in\mathcal{R}(a)$.

该命题的证明大略如下:

将$[a,b]$$n$等分,等分点为$x_0=a,x_1,\cdots,x_n=b$.我们来看$$\left(\sup_f[x_i,x_{i+1}]-\inf_f[x_i,x_{i+1}]\right)\left(\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)\right),$$当$n$足够大的时候,在非间断点附近,$\forall 0\leq i\leq n-1$,$$\left(\sup_f[x_i,x_{i+1}]-\inf_f[x_i,x_{i+1}]\right)<\delta_1,(\mbox{因为一致收敛})$$在间断点附近,$$|\left(\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)\right)|<\delta_2,(\mbox{因为只可能有有限个间断点}).$$可见,当$\delta_1,\delta_2$足够小的时候,命题得证.

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