常规方法
- 换元要变上下限
- 在d后面加减一个恰当的常数，使分部积分后极限是收敛的
- N-L方法使用时无定义点的处理
- 奇函数在对称区间积分为0，偶函数在对称区间积分为二倍；通常此类题目表现为分子可从加号拆开、积分区间对称
- 周期性简化计算
- 点火公式
- 关于sinx的常见积分公式
- 三角函数里面较复杂时，可以换元
综合题
- 变限积分嵌套
- 被积函数含有导函数
- 利用“定积分是一个数字”求解某些待定函数
区间再现公式的应用
变限积分求导
- 被积函数不含参数x
- 被积函数含参数变量x
- 变限二重积分的导数
- 千万不能忘对积分限求导、对提出来的x按乘法求导法则求导
二重积分
- 积分函数相同的两个积分相加，可以考虑画出积分区域；积分函数是奇函数的部分，积分区域关于x轴对称时积分为0
- 积不出来时可以考虑交换次序
- sinx在(-π/2,π/2)才可以直接化为arcsiny，否则要进行诱导公式替换，在(π/2,3π/2)时化为π-arcsiny
- 极坐标交换次序时当成直角坐标即可
- 积分区域相同时，就是比较被积函数的大小

视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1PB4y1N77A?spm_id_from=333.999.0.0

常规方法

换元要变上下限

在d后面加减一个恰当的常数，使分部积分后极限是收敛的

N-L方法使用时无定义点的处理

定积分遇到无定义点必须要从无定义点拆开，分左右极限

奇函数在对称区间积分为0，偶函数在对称区间积分为二倍；通常此类题目表现为分子可从加号拆开、积分区间对称

周期性简化计算

点火公式

关于sinx的常见积分公式

cosx可以变成sinx的，也可以用这个公式

三角函数里面较复杂时，可以换元

综合题

变限积分嵌套

使用分部积分，把变限积分函数外的其余部分全部凑到d后面去
当然也可以用二重积分思想，交换积分次序

注：题干中的上限是π，不是x

将dx变成d(x-积分上限)，方便计算

y×y’ 形式，等号两边同时积分

被积函数含有导函数

将导函数凑进d即可

利用“定积分是一个数字”求解某些待定函数

也可以直接待定系数法，无脑做

区间再现公式的应用

x变成π/2-x，变成了cosx，大大简化计算

f(sinx)依旧关于 x=π/2 轴对称

接上题

三角换元加区间再现

两个arcsin相加，里面的平方和为1，那么值就是π/2

arcsin(sinx)只有在(-π/2,π/2)单调区间内才等于sinx
如arcsin(sin2π/3)，把不在区间内的利用sinx的性质转化，得到答案为π/3

也可以压缩积分区间

少数区间再现一次即可计算

变限积分求导

这块是另一个老师
https://www.bilibili.com/video/BV1Zs411c7wF?spm_id_from=333.999.0.0

被积函数不含参数x

被积函数含参数变量x

x当做常数提到前面，再利用前导后不导+后导前不导进行求导
注意此处的换积分限的步骤是，把t当做下限0，代入u=x-t，下限即为x；把t当做上限x，代入u=x-t，上限即为0

变限二重积分的导数

千万不能忘对积分限求导、对提出来的x按乘法求导法则求导

二重积分

积分函数相同的两个积分相加，可以考虑画出积分区域；积分函数是奇函数的部分，积分区域关于x轴对称时积分为0

积不出来时可以考虑交换次序

sinx在(-π/2,π/2)才可以直接化为arcsiny，否则要进行诱导公式替换，在(π/2,3π/2)时化为π-arcsiny

极坐标交换次序时当成直角坐标即可

积分区域相同时，就是比较被积函数的大小

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