频谱泄露和吉布斯现象
吉布斯现象(英语:Gibbs phenomenon),由Henry Wilbraham于1848年最先提出[1],并由约西亚·吉布斯于1899年证明[2]。在工程应用时常用有限正弦项正弦波叠加逼近原周期信号。所用的谐波次数N的大小决定逼近原波形的程度,N增加,逼近的精度不断改善。但是由于对于具有不连续点的周期信号会发生一种现象:当选取的傅里叶级数的项数N增加时,合成的波形虽然更逼近原函数,但在不连续点附近会出现一个固定高度的过冲,N越大,过冲的最大值越靠近不连续点,但其峰值并不下降,而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%,且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式
图像
维基百科
在做信号处理时,经常涉及到“泄漏”。那泄漏是什么,是什么原因造成了泄漏呢?在这将告诉您答案。
1.信号截断
一次FFT分析截取1帧长度的时域信号,这1帧的长度总是有限的,因为FFT分析一次只能分析有限长度的时域信号。而实际采集的时域信号总时间很长,因此,需要将采样时间很长的时域信号截断成一帧一帧长度的数据块。这个截取过程叫做信号截断。
假设有一段10s的时域信号,取1帧的长度T=1s,无重叠,则该信号将被截断为10帧,如下图所示。按此规律进行FFT计算,将得到10个瞬时频谱,如果将这些瞬时频谱进行平均,那么平均次数为10次,最终的FFT分析结果为这10个瞬时频谱的平均结果。
信号截断分为周期截断和非周期截断。周期截断是指截断后的信号为周期信号,而非周期截断是指截断后的信号不再是周期信号,哪怕原始信号本身是周期信号。
2. 周期截断
我们知道周期信号最明显的特征是信号的起始和结束时刻的幅值相等,哪怕是一个周期。在这假设采样时间很长的信号为单频正弦波(周期信号),若1帧的时间长度等于这个正弦波周期的整数倍,那么,截断后的信号仍为周期信号。取1帧的时间长度T等于原始信号的1个周期长度,那么截断后的信号仍为周期信号,如下图所示。
将这个截断后的信号再重构,可以得到原始的正弦波,如下图所示。
对截断的这一帧信号做FFT分析,得到它的频谱如下图所示。从图中可以看出,得到的频率成分为原始信号的真实频率,并且幅值与原始信号的幅值相等(100%幅值)。
假设原始信号的频率为f Hz,则周期为1/f s。因为截取的时间长度T为信号周期的整数倍(假设为k倍),即
T=k/f
而频率分辨率为1/T,即
倘若信号截断的长度不为原始正弦信号周期的整数倍,那么,截断后的信号则不为周期信号,哪怕原始信号是周期信号。并且现实世界中,我们进行FFT分析时,绝大多数情况都是非周期截断。
对之前的正弦信号进行非周期截断,如下图所示。截断后的信号起始时刻和结束时刻的幅值明显不等,将这个信号再进行重构,在连接处信号的幅值不连续,出现跳跃,如图中黑色圆圈区域所示。
由于非周期截断的时间长度不等于信号周期的整数倍,因此,信号的频率成分f≠k*∆f,也就是说,在频谱图中,没有一条谱线与信号的频率成分完全相同。
在作进一步说明之前,让我们回顾一下FFT变换。FFT变换要求为:信号要么从-∞到+∞,要么为周期信号。现实世界中,不可能采集时间从-∞到+∞的信号,只能是有限时间长度的信号。
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