一、数学基础

1. 实指数函数

形式：y=

(1) 其中自变量x位于指数的位置上，自变量取全体实数。

(2) 底数a是一个常量，a的取值有要求：

A. 若a<0，则y= $a^{x}$ 有意义，但是无论x取什么值，函数值都不存在。

B. 若a=0，当x>0时， $a^{x}$ 恒等于0，没有研究的必要；当x<0时，y= $a^{x}$ = $\frac{1}{a^{|x|}}$ ，此时式子无意义(分母为0了)。

C. 若a=1，则因变量恒等于，没有研究的必要。

综上所述，底数a的取值要求是a>0且a≠1。底数可分为两个区间：

函数图像及性质：

当自变量取全体实数时，称为实指数函数。

2. 复指数函数

复指数函数是实指数函数在复数域中的推广(自变量从实数变为复数)。

2.1 欧拉公式

其中i是虚数单位，x是自变量，e是自然对数的底，是一个常数，且是一个无理数2.71828……。欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系。

复指数函数的一般定义形式：

3. 复数的S平面表示/极坐标表示

当复数的形式为 z = a + bi 时，在S平面(复平面)中，以S的实部为x轴，虚部为y轴，建立一个坐标系：

函数通过下列方程转到换极坐标中的元素：

z = r（cos θ + i *sin θ）

极坐标中 a=rcosθ，b=rsinθ ，r为复数的模。

对应关系：S平面的坐标<----->极坐标中的坐标。

二、连续时间信号及其特征

1. 复指数信号

（1）表达式：y=x(t)= ，其中t是自变量，取的是横轴(时间轴)上的值，取值是连续的-∞<t<+∞。系数s=σ+jω，j是虚数单位，实部是σ，虚部是ω。根据实部和虚部取0的情况，可分类得到如下几种信号。

2. 单位阶跃信号

2.1 定义

图像：

2.2 性质

（1）t=0为间断点，故u(t)并不是连续的，自变量连续，函数值不连续，在t=0处函数没有取值。

（2）平移特性

向右平移，幅度增加A倍。

2.3 应用

（1）利用单边特性：若x(t)是一个双边信号，则x(t)u(t)就得到一个新的单边信号，表达式如下：

比如：电源系统，在t=0时刻合上开关。

（2）利用单位阶跃信号表示其他复杂的信号

例1：用单位阶跃信号表示矩形脉冲信号。矩形脉冲信号也叫门函数(形象)，特点是：高度和宽度都是1。图像如下：

由两部分之和：

例2：用单位阶跃信号表示符号函数

符号函数的定义及图像：

特点：

t=0为间断点，sgn(0)无取值，sgn(t)不连续。

3. 单位冲激信号

3.1 引言

若矩形脉冲信号的单位面积不变，宽度压缩，当宽度趋于0的时候，如下图：

当宽度Ф->0，高度趋于∞,就得到单位冲激信号(矩形的面积)。

3.2 定义

极限定义：

狄拉克(dirac)定义：

扩大冲激后，定义为：

3.3 性质

(1)时移性：以右移为例

(2)相乘特性

1）普通函数和单位冲激信号相乘得到的还是一个冲激信号

2）要求：普通函数在冲激发生时刻t0 是连续的[存在函数值]。

注：不一定是0时刻。

新冲激信号的表达式：

结论：普通函数和单位冲激函数相乘得到的还是一个冲激，只是冲激强度发生了改变。

若普通函数乘上的是一个发生了右移的单位冲激信号，则表达式就变成：

(3)取样特性

若冲激发生在t=0时刻，则：

若冲激发生在时刻，则：

其中x(0)和x( )是常数，是普通函数x(t)的函数值。

结论：一个普通函数x(t)与单位冲激函数δ(t)的乘积下的面积等于x(t)在冲激时刻的函数值。计算的时候，要知道，冲激在哪一个时刻产生。计算的时候，缩小积分区间去考虑，因为冲激函数只有在冲激时刻才有值，其他定义域上的值都是0。

（4）展缩特性

3.4 习题

小结：普通函数和单位冲激函数δ(t)相乘，一般是利用相乘特性和展缩特性。分两步解决问题：（1）明确冲激发生的时刻（2）将冲激时刻代入普通函数中进行求解。普通函数和冲激函数乘积最终得到的还是一个冲激，并不纯粹等于一个函数值（常数），可以站在几何意义的角度去理解。所以，δ(t)这部分不可遗漏。

图示：

三、离散时间信号及其特征

1. 单位冲激序列

1.1 定义

与单位冲激信号的区别：t=0时刻有无函数值(连续时间信号做积分才有值，并不是0时刻有函数值)。

时移：

1.2 应用

任意的离散时间信号x(n)都可以利用δ(n)和δ(n-k)的线性加权和表示：

其中，x(k)就是权重。

实例：

使用δ(n)和δ(n-k)的线性加权和表示：

2. 单位阶跃序列

2.1 定义

时移：

2.2 δ(n)和u(n)的关系

明显：

2.3 用u(n)表示其他离散时间信号

离散矩形脉冲/矩形窗函数：连续的N(0~N-1)个点，值取1。

符号为RN(n) ，图形如下：

3. 复指数序列

3.1 定义

模和幅角在极坐标上对应的几何意义是：模表示该点到原点的线段长度，幅角表示线段和实轴的夹角，极坐标如下：

3.2 实指数序列

这时候就是实指数序列，对于底数r有两种取值，组合起来就有四种可能。图像分别如下：

小结：可以从几何意义上理解，当坐标点落在单位圆内，则递减；落在单位圆外，则递增。换句话说，模r就决定了：递增/递减/震荡递增/震荡递减，单位圆就是个分水岭。

3.3 虚指数序列

当坐标点落在单位圆上，即r=1时，幅角Ω可以从0取到2p。此时，信号的表达式为：

实部和虚部分别是离散时间的三角函数形式。

3.4 复指数序列

小结：表格如下

4. 正弦序列

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