举例 微积分 拉格朗日方程_理解微积分真谛:微分方程
微积分其实很简单!
只有理解,才会应用!
本专栏将和您一起,从最通俗易懂的角度,用最易于理解的方法,真正内化吸收微积分的核心概念与算法,帮您轻松掌握与应用!
精要复习
前面我们讲了导数/微分:
“导数”是函数的原因,函数是“导数”的结果。
引出了积分:
不定积分,是把函数降维投影,求到了一系列的投影 F(x) +C。
定积分,是“原因”f(x) 经过一段过程(a to b)所造成的结果改变。
微分方程
如果您从前面的专栏一路学过来,就会有一种感觉,“微积分”的核心对象并不是“微分”与“积分”,其实应该是:
原函数 与 导函数
而微分积分只是研究原函数与导函数之间关系的一种方法。
规律,就是函数
如果,我们知道原函数与导函数之间的关系,如何求出原函数呢?这就是:
微分方程(Differential equation,DE)
比如,函数 y=x 的导数为1,那么反过来问:什么函数的导数为1呢——y'' = 1
这就是最简单的微分方程了。解就是:y = x+C
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的——
阶
所以上面就是一阶微分方程。
那为啥解里多个 C 呢,因为很显然,x+C 的导数也是1呀,它也满足方程给出的条件。
除非再加个条件:y(0) = 0
这样,解就只能是 y=x 了,这种条件叫做
微分方程的初始条件
微分方程——DE
微分方程的应用
微分方程的应用太多太多,甚至我们可以说,微积分能有今天这种科学基石的地位,很大一部分来自微分方程。
例几个应用一看便知:
力学动力学中的牛顿第二运动定律
欧拉-拉格朗日方程
哈密顿力学
热力学热力学中的牛顿冷却定律
热力学中的热传导方程
电磁学麦克斯韦方程组
流体力学纳维-斯托克斯方程
对流-扩散方程
导管中气流的仿真:纳维-斯托克斯方程
材料学泊松方程
生物学威尔霍斯特方程–生物族群增长模型
生物个体增长模型
洛特卡-沃尔泰拉方程–掠食者和猎物的动态模型
经济学布莱克-休斯方程
索洛模型
马尔萨斯模型
太多了广义相对论中的爱因斯坦场方程
量子力学中的薛定谔方程
复变分析中的柯西-黎曼方程
分子动力学中的泊松-玻尔兹曼方程
根本数不过来,可以说,没有微分方程,就没有现代科学。
为啥应用这么广
还记得我们前面讲过的么——
“导数”是函数的原因,函数是“导数”的结果。
要解释物体的位移现象,就要研究速度;要解释速度,就要研究加速度。
研究一个量的导数的规律,才有可能从根本上理解这个量的规律。
微积分——研究世界的内在规律
解微分方程
列出微分方程就算是解决了一大半问题,另一半就是解方程了。
然而事实上,微分方程不太好解,教材上一般也就列举了几种很特殊的微分方程的解法,但其实真到了使用微分方程的时候,往往不在这几种列举的范围之内。
所以,除要考试或以数学为专业外,建议不要花时间在学习如何手算解微分方程上。
这个时代,直接用计算机求解呗!这么好的工具,一定要擅于使用。''君子生非异也,善假于物也''
——《劝学》
计算机是最好的帮手
MATLAB求解微分方程解析解
求微分方程的解析解,就是要求出函数的表达式。
MATLAB中,一般用这个函数就能搞定:
dsolve
例,解方程:
syms a y(t)eqn = diff(y,t) == a*y;dsolve(eqn)ans =C2*exp(a*t)
简单吧,注意方程里的等号,要写成“==”。
(MATLAB中,==表示等于,=表示赋值)
高阶的也一样啊:
syms y(t) aeqn = diff(y,t,2) == a*y;ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) =C2*exp(-a^(1/2)*t) + C3*exp(a^(1/2)*t)
如果有初始条件,就把初始条件也写成一个方程的形式,跟在方程后面,如:
syms y(t) aeqn = diff(y,t) == a*y;cond = y(0) == 5;ySol(t) = dsolve(eqn,cond)ySol(t) =5*exp(a*t)
微分方程数值解
其实,能求出解析解的微分方程并不多,基本都是“线性微分方程”和“低阶的特殊微分方程”,一般的非线性微分方程根本求不出解析解,只能求出数值解。
啥叫数值解?
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