f(x)=sinx的求导过程

求f(x)=sinxf(x) = sin xf(x)=sinx的导数
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xhf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhsin(x+h)−sinx
下一步需要用到和差角公式
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+sin⁡ycos⁡x\sin(x+y) = \sin x \cos y+\sin y\cos xsin(x+y)=sinxcosy+sinycosx
所以
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡xcos⁡h+sin⁡hcos⁡x−sin⁡xhf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\sin x \cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}f′(x)=h→0limhsinxcosh+sinhcosx−sinx
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)+sin⁡hcos⁡xhf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\sin x (\cos h-1)+\sin h\cos x}{h}f′(x)=h→0limhsinx(cosh−1)+sinhcosx
我们将式子拆解成两个部分，分别进行处理
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)h+lim⁡h→0sin⁡hcos⁡xhf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\sin x (\cos h-1)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{\sin h\cos x}{h}f′(x)=h→0limhsinx(cosh−1)+h→0limhsinhcosx

对于f′(x)=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)hf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\sin x (\cos h-1)}{h}f′(x)=h→0limhsinx(cosh−1)部分，需要用到半倍角公式sin⁡2x2=1−cos⁡x2\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}sin22x=21−cosx
代入可得
f′(x)=lim⁡h→0−2sin⁡xsin⁡2h2hf'(x) = \lim_{h\to0}-2\frac{\sin x \sin^2 \frac{h}{2}}{h}f′(x)=h→0lim−2hsinxsin22h
对于
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡hcos⁡xhf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\sin h\cos x}{h}f′(x)=h→0limhsinhcosx部分，需要用到二倍角公式
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x =2 \sin x \cos xsin2x=2sinxcosx
代入可得
f′(x)=lim⁡h→02sin⁡h2cos⁡h2cos⁡xhf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{2 \sin \frac{h}{2} \cos \frac{h}{2} \cos x}{h}f′(x)=h→0limh2sin2hcos2hcosx

将这两个部分代入可得

f′(x)=lim⁡h→02sin⁡h2cos⁡h2cos⁡x−2sin⁡xsin⁡2h2hf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{2 \sin \frac{h}{2} \cos \frac{h}{2} \cos x-2\sin x \sin^2 \frac{h}{2}}{h}f′(x)=h→0limh2sin2hcos2hcosx−2sinxsin22h
提取2sin⁡h22\sin \frac{h}{2}2sin2h
f′(x)=lim⁡h→02sin⁡h2(cos⁡h2cos⁡x−sin⁡xsin⁡h2)hf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{2 \sin \frac{h}{2} (\cos \frac{h}{2} \cos x-\sin x \sin \frac{h}{2})}{h}f′(x)=h→0limh2sin2h(cos2hcosx−sinxsin2h)
下一步需要用到和差角公式
cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos (x+y) = \cos x \cos y -\sin x \sin ycos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny
代入可得
f′(x)=lim⁡h→02sin⁡h2(cos⁡(x+h2))hf'(x) = \lim_{h\to0}\frac{2 \sin \frac{h}{2} (\cos(x+\frac{h}{2}))}{h}f′(x)=h→0limh2sin2h(cos(x+2h))
f′(x)=lim⁡h→0cos⁡(x+h2)⋅lim⁡h→0sin⁡h2h2=cos⁡x⋅1=cos⁡xf'(x) = \lim_{h\to0}\cos (x+\frac{h}{2}) · \lim_{h\to0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=\cos x · 1 = \cos xf′(x)=h→0limcos(x+2h)⋅h→0lim2hsin2h=cosx⋅1=cosx

f(x)=sinx的求导过程相关推荐

数学----常见函数求导过程
常见函数求导过程前言看了之前的导数,有了一个结论,一般导函数的表示如下: f ′ ( t ) = lim ⁡ Δ t → 0 f ( t + Δ t ) − f ( t ) Δ t f'(t) = ...
激活函数汇总，包含公式、求导过程以及numpy实现，妥妥的万字干货
文章目录 1.激活函数的实现 1.1 sigmoid 1.1.1 函数 1.1.2 导数 1.1.3 代码实现 1.2 softmax 1.2.1 函数 1.2.2 导数 1.2.3 代码实现 1.3 ...
Deep Learning基础--Softmax求导过程
一.softmax函数 softmax用于多分类过程中,它将多个神经元的输出,映射到(0,1)区间内,可以看成概率来理解,从而来进行多分类! 假设我们有一个数组,V,Vi表示V中的第i个元素,那么这个 ...
sigmoid函数的求导过程
sigmoid函数的求导过程涉及"链式求导"和"自然指数"的求导.
对 RNN 中 BPTT 求导过程的解析尝试
(转载一次对 RNN 中 BPTT 求导过程的解析尝试 - 知乎其中关于雅可比的内容参考: 学习笔记之--Jacobian matrix(雅可比矩阵)学习笔记之--Jacobian matrix( ...
Logistic回归-代价函数求导过程 | 内含数学相关基础
转载自:https://blog.csdn.net/JUNJUN_ZHAO/article/details/78564557 相关函数求导公式先复习回顾下一些数学基础,帮助推导过程可以更好的理解.下 ...
arctanx麦克劳林公式推导过程_三角函数的求导过程
上高中的同学一定会很疑惑三角函数的求导公式是怎么推导出来的,毕竟推导过程书本上并没有讲. 如上图,这个推导过程是许多同学都会推导的,但是推导过程仍有漏洞,比如(sinx/x)趋近于0的极限还未证明.三 ...
怎么用计算机按反三角函数的导数,反三角函数求导过程
反三角函数的导数公式推导过程是利用dy/dx=1/(dx/dy),然后进行相应的换元.反三角函数是一种基本初等函数,它包括反正弦函数.反余弦函数.反正切函数以及反余切函数的求导. 反函数求导方法若F ...
一个F范数对矩阵求导例子
==PART1 == 1. 问题如何求下列表达式中的未知参数W?求偏导? min⁡f(W)=min⁡w∥(XW∘D˘)B∥F2(0)\min f(W)=\min_w \|(XW \circ \bre ...
Sigmoid 函数的求导过程
Sigmoid 函数的公式如下: σ ( x ) = 1 1 + e − x \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} σ(x)=1+e−x1 求导之前,先看一下 x x x ...

f(x)=sinx的求导过程

f(x)=sinx的求导过程相关推荐

最新文章

热门文章