掌握用 STL 中的 SET 动态维护 “各类型凸壳” / “凸包”

前言

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一、例题引入

题意：

主人公小智一共会捕捉 nnn 只宝可梦，宝可梦有两个属性，攻击值 AAA，防御值 BBB。每当捕捉到一只新的宝可梦 TTT，小智有两种方法判断这只宝可梦是否是无用的。

存在一只宝可梦 XXX，使得 X.A>T.AX.A > T.AX.A>T.A 并且 X.B>T.BX.B > T.BX.B>T.B
存在两只宝可梦 X,YX,YX,Y，使得 c∗X.A+(1−c)∗Y.A>T.Ac*X.A+(1-c)*Y.A>T.Ac∗X.A+(1−c)∗Y.A>T.A 并且 c∗X.B+(1−c)∗Y.B>T.Bc*X.B+(1-c)*Y.B>T.Bc∗X.B+(1−c)∗Y.B>T.B，0≤c≤10\leq c\leq 10≤c≤1

每当捕捉到一只新宝可梦，需要输出当前共有几只无用宝可梦。(1≤n≤105,0≤Ai,Bi≤109)(1\leq n\leq 10^5,0\leq A_i,B_i\leq 10^9)(1≤n≤105,0≤Ai,Bi≤109)

题目来源：Gym 102302-I

思路：

一开始一直在推导式子，妄图想要用一个指标同时维护这两个变量，然后就自闭了…

后来在队友提醒之下，发现这是一个线段参数方程。线段两端点为 (a,b)、(c,d)(a,b)、(c,d)(a,b)、(c,d)，则线段上的点可以如下表示。
X=k∗a+(1−k)∗cY=k∗b+(1−k)∗dk∈[0,1]X=k*a+(1-k)*c \\ Y=k*b+(1-k)*d \\ k\in[0,1] X=k∗a+(1−k)∗cY=k∗b+(1−k)∗dk∈[0,1]
可能不够直观，但我们可以通过斜率来证明这是线段的参数方程。
X−aY−b=(1−k)∗(c−a)(1−k)∗(d−b)=c−ad−b=线段斜率\displaystyle\frac{X-a}{Y-b}=\displaystyle\frac{(1-k)*(c-a)}{(1-k)*(d-b)}=\displaystyle\frac{c-a}{d-b}=线段斜率 Y−bX−a=(1−k)∗(d−b)(1−k)∗(c−a)=d−bc−a=线段斜率
发现这是一个线段参数方程之后，此题就转化成了一个动态维护凸壳的问题，凸壳如下所示。

观察这个凸壳，我们定义比较函数如下。

struct Node {int x,y;bool operator < (Node T) const {return x == T.x ? y > T.y : x < T.x;     }
}

然后每次增加一个点的时候，向两边进行扩展删点即可。删点的标准为左右两端点连线是否能够覆盖自己，如果能则删，不能则保留。具体过程见下文代码，代码很短，简单易懂。

例题总结：

此题最重要的两个关键点。

识别线段的参数方程
根据题意构建凸壳模型，并用 SET 求解

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;struct Node{ll x,y;Node operator - (Node p) const {return {x-p.x,y-p.y};}ll operator ^ (Node p) const {return x*p.y-y*p.x;}bool operator < (Node p) const {return (x == p.x ? y > p.y : x < p.x);}
};struct Hull : public multiset<Node>{bool inside(iterator p){auto t2 = next(p);if(t2 == end()) return 0;if(p == begin()) return t2->x > p->x && t2->y > p->y;auto t1 = prev(p);if(((*t1-*p)^(*t2-*p)) < 0) return 1;else return 0;}void ins(Node p){auto t = insert(p);if(inside(t)) { erase(t); return; }while(t != begin() && inside(prev(t))) erase(prev(t));while(next(t) != end() && inside(next(t))) erase(next(t));}
};int main()
{int n; scanf("%d",&n);Hull hull;rep(i,1,n){ll x,y; scanf("%lld%lld",&x,&y);hull.ins({x,y});printf("%d\n",i-(int)hull.size());}return 0;
}

二、各类型凸壳总结

凸壳处理过程中，主要注意点在于左右两边的垂直，在接下来所举的例子中，应仔细观察对于垂直的处理。

先按 xxx 升序，再按 yyy 升序

每次插入新节点，只需要插入 set 并找到对应位置，然后依次判断两边的节点是否应该被删除。（代码部分同例题）

上凸壳（可包含左边的垂直线段

下凸壳（可包含右边的垂直线段

先按 xxx 升序，再按 yyy 降序

上凸壳（可包含右边的垂直线段

下凸壳（可包含左边的垂直线段

特殊凸壳

此类凸壳两边都有垂直线段，因此我们需要重新思考左边垂直线段的问题。我们以左边点是否固定来进行区分。

左边点固定
- 如果左边点固定，我们则可以按照先按 xxx 升序，如果 x=xminx=x_{min}x=xmin，yyy 升序，否则 yyy 降序
左边点不固定
- 如果左边点不固定，我们可以考虑使用两个 SET 来进行维护，其中一个用于维护左边界垂直线，实现起来细节较繁琐

三、凸包维护

相较于种类繁多的凸壳，凸包维护较为清晰。

按照 “xxx 升序 +++ yyy 升序” 方法进行排序
- 起点为最小值处，终点为最大值处
- 上凸壳维护上半部分，下凸壳维护下半部分
用两个 setsetset 分别维护上下凸壳
上下凸壳判断一个点是否删除的代码不同，但均使用叉乘
- 判断点 PPP 是否该删去，左边点为 XXX，右边点为 YYY
- 上凸壳 (X−P)(X-P)(X−P)^(Y−P)<0(Y-P)<0(Y−P)<0 则删除点 PPP
- 下凸壳 (X−P)(X-P)(X−P)^(Y−P)>0(Y-P)>0(Y−P)>0 则删除点 PPP

后记

setsetset 维护 “凸壳” / “凸包” 的内容到此就结束了，最后补充几点：

除了 setsetset，也可以直接手写 SplaySplaySplay 等平衡树进行维护
凸包维护过程也可以寻找一个定点，根据极角序进行排序

最后祝大家 ACACAC 愉快，一起爱上凸包把！(๑•̀ㅂ•́)و✧

ACMACMACM 的旅行虽然充满荆棘但一抬头便能看见无数束光，请务必坚持下去，负重前行终有云开雾散之日！