算法学习：最小生成树

最小生成树是无向图中的一个问题，很常见。
在无向图中，连通而且不含有圈（环路）的图称为树。最小生成树（MST）的基本模型可以用下面的题目描述：

题目描述
某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

输入
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

输出
对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

样例输入
8
1 2 42
1 3 68
1 4 35
1 5 1
1 6 70
1 7 25
1 8 79
2 3 59
2 4 63
2 5 65
2 6 6
2 7 46
2 8 82
3 4 28
3 5 62
3 6 92
3 7 96
3 8 43
4 5 28
4 6 37
4 7 92
4 8 5
5 6 3
5 7 54
5 8 93
6 7 83
6 8 22
7 8 17
0
样例输出
82

图的两个基本元素是点和边，与此对应，有两种方法可以构造最小生成树T。这两种算法都基于贪心法，因为MST问题满足贪心法的“最优性原理”，即全局最优包含局部最优。prim算法的原理是“最近的邻居一定在MST上”，kruskal算法的原理是“最短的边一定在MST上”。
（1）prim算法：对点进行贪心操作。从任意一个点u开始，把距离它最近的点v加入到T中；下一步，把距离{u，v}最近的点w加入到T中，继续这个过程，直到所有点都在T中。
（2）kruskal算法：对边进行贪心操作。从最短的边开始，把它加入到T中；在剩下的边中找最短的边，加入到T中；继续这个过程，直到所有点都在T中。
在这两个算法中，重要的问题是判断圈。最小生成树显然不应该有圈，否则就不是“最小”了。所以，在新加入一个点或者边的时候要同时判断是否形成了圈。

1、prim算法
设最小生成树的点的集合是U，开始时最小生成树为空，所以U为空。

（1）任取一点，例如点1，放到U中，U={1}。
（2）找离集合U中的点最近的邻居，即1的邻居，是2，放到U中，U={1,2}。
（3）找离U最近的点，是5，U={1,2,5}。
（4）距离U最近的点是5，但是它没有扩展新的点，不符合要求。
（5）加入4，U={1,2，5,4}。
（6）加入3，U={1,2，5,4，3}。所有的点都在U中，结束。
上面的步骤和Dijkstra算法的步骤非常相似，不同的是Dijkstra需要更新U的所有邻居到起点的距离，即“松弛”，而prim则不需要。所以，只需要把Dijkstra的程序简化一些即可。
和Dijkstra算法一样，prim程序也可以用优先队列来查找距离U最近的点，能优化算法。
prim的编程比较麻烦，kruskal更简单且高效。

2、kruskal算法
kruskal算法编程有以下两个关键技术：
（1）对边进行排序。可以用STL的sort()函数，排序后，依次把最短的边加入到T中。
（2）判断圈，即处理连通性问题。这个问题用并查集简单而高效，并查集是kruskal算法的绝配。
任意上面的图为例说明kruskal算法的操作步骤

（1）初始时最小生成树为空。令S是以节点i为元素的并查集，在开始时，每个点属于独立的集（为了便于讲解，下表中区分了结点i和集S，把集的编号加上可下划线）：

（2）加入第一个短边（1-2）：T={1-2}。在并查集S中，把结点2合并到结点1，也就是把结点2的集2改成结点1的集1。

（3）加入第二个短边（3-4），T={1-2,3-4}。在并查集S中，结点4合并到结点3.

（4）加入第三个最短边（2-5）：T={1-2，3-4,2-5}。在并查集S中，把结点5合并到结点2，也就是把结点5的集5改成结点2的集1.在集1中，所有结点都指向了根结点，这样可以避免并查集的长链问题。

（5）第四个最短边（1-5）。检查并查集S，发现5已经属于集1，丢弃这个边。这一步实际上是发现了一个圈。并查集的作用就体现在这里。
（6）加入第五个最短边（2-4）。在并查集S中，把结点4的集并到结点2的集。注意这里结点4的集原本为3，实际上的修改是把结点3的集3改成1。
（7）重复以上操作，直到结束。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int NUM=105;
int S[NUM];//并查集
struct Edge{int u,v,w;}edge[NUM*NUM];
bool cmp(Edge a,Edge b){return a.w<b.w;};
int find(int u){return S[u]==u?u:find(S[u]);}
int n,m;
int kruskal(){int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)S[i]=i;sort(edge+1,edge+m+1,cmp);for(int i=1;i<=m;++i){int b=find(edge[i].u);int c=find(edge[i].v);if(b==c)continue;//产生了圈，丢弃这个边S[c]=b;//合并ans+=edge[i].w;//计算MST}return ans;
}
int main(){while(~scanf("%d",&n)){if(!n)return 0;m=n*(n-1)/2;for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w);printf("%d\n",kruskal());}
}

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