笔记：复杂度分析（上）

前言

众所周知，之所以引入数据结构和算法，是为了让我们的程序更加地健壮，更“快”、更“省”。那么，怎么去考量一个算法的执行效率呢，那就是今天的主角：复杂度分析。

什么是复杂度分析

复杂度也叫渐进复杂度，是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，包括时间资源和空间资源（内存资源），所谓的分析就是用来分析算法执行效率和数据规模之间的增长关系，可以这么说越高阶复杂度的算法，执行效率越低。

为什么需要复杂度分析

你可能会这么想：我把自己写的代码跑一边，然后看看执行时间和内存使用情况不就知道自己写的如何了吗。

这么操作是没有问题的，但是这种方法有非常大的局限性。

依赖测试环境

如果通过执行结果来分析的话，在不同设备上，不同内存，不同cpu的情况下，测试的结果就会出现很大的差异。

依赖数据规模

如果通过上述方法来检测代码的健壮性，需要大量的测试，对于数据的规模有很大要求。

和性能测试相比，复杂度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高等特点。掌握好复杂度分析，将编写出更加优质的代码。

如何进行复杂度分析

大O表示法

举一个累加的例子：

void add (int n) {int sum = 0;for(int i = 1 i <=n; i++) {sum+=i}return sum;
}
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我们来分析下这段代码的执行时间，用T(n) 表示执行的总时间，x表示每行代码执行的时间，可以得出：

T(n) = （n+ 1）x
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当n越大，所执行的时间就越久，可以看出：执行时间和代码的执行次数n成正比

总结一下：

 T(n) = O(f(n))
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f(n)表示每行代码的执行次数总和，用一个公式表示。O表示执行时间和公式成正比

当n无限大时，公式中的常量和低阶的部分就可以忽略掉，所以上述代码的执行时间T(n) = O(n)

复杂度分析法则

单段代码看高频比如上面例子的循环
多段代码取最大举个例子：

void add (int n) {int sum1 = 0;for(int i =1;i <= 50; i ++) {sum1+=i;}sum2 = 0;for(int j = 1;j <= n; j++) {sum2+=j;}sum3 = 0;for(int m = 1; m <=n; m ++) {for(int s = 1; s <=n; s++) {sum3+=s;}}return sum1+sum2+sum3;
}
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这是一个多段代码，有三个片段，时间复杂度分别是：50，n,n*n 取最大的复杂度就是 T(n) = O(n**n) 3. 嵌套代码求乘积：比如上述例子中的最后一个片段。 4. 多个规模求加法再举个栗子：

void add (int n, int m) {sum1 = 0;for(int i = 1; i <=n; i ++) {sum1+=i;}sum2 = 0;for(int j = 1; j <=m; j++) {sum2+=j;}return sum1 + sum2;
}
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该代码的执行时间 T(n) = O(n + m)

时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

上述代码的执行时间都是一中时间复杂度，也叫渐进式时间复杂度，表示代码执行时间随着数据规模增长的变化趋势。

空间复杂度

空间复杂度，也叫渐进式空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

  int i = 0;int [] a = new int [n]
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可以看出第2行代码开辟了大小为n的空间，所以空间复杂度为O(n)

常用复杂度级别

虽然代码千差万别，但是大致分为一下几种：根据数量级递增可以分为两类：多项式量级和非多项式量级。

多项式量级：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增加。包括：

O(1) 常数阶                O(logn) 对数阶
O(n) 线性阶                O(nlogn) 线性对数阶
O(n^2) 平方阶              O(n ^3) 立方阶
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O(1)

int i = 5;
int j = i +6;
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像上面这段代码的复杂度就是O(1),只要f(n)是一个常量，就是O(1)

非多项式量级：随着数据规模的增加，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能差。包括：

O(2^n) 指数阶              O(n!)阶乘阶
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