数据结构——最小连通图

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无向图的最小连通分量——Kruskal算法
无向图的最小连通分量——Prim算法

无向图的最小连通分量——Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

把图中的所有边按代价从小到大排序；
把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；
按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

参考文章图解：什么是最小生成树？

    vector<int> parents;int count;void init(int n){count = n+1;parents = vector<int>(n+1, 0);for(int i=0; i<=n; ++i){parents[i] = i;}}int find(int x){if(x != parents[x])return find(parents[x]);return parents[x];}void Union(int x, int y){int rootX = find(x);int rootY = find(y);if(rootX == rootY)return ;parents[rootX] = rootY;count--;}bool isConnected(int x, int y){return find(x) == find(y);}/*输入：n， 节点数量connections， {{a, b, w}} 无向图中的起点、终点、权重*/int minimumCost(int n, vector<vector<int>>& connections) {sort(connections.begin(), connections.end(), [&](vector<int>& a, vector<int>& b){return a[2] < b[2];});init(n);int ans = 0;for(int i=0; i<connections.size(); ++i){int x,y,w;x = connections[i][0];y = connections[i][1];w = connections[i][2];if(! isConnected(x, y)){Union(x, y);ans += w;}}return count == 2? ans : -1;}

无向图的最小连通分量——Prim算法

此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

图的所有顶点集合为VV；初始令集合u={s},v=V−uu={s},v=V−u;
在两个集合u,vu,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)(u0,v0)，加入到最小生成树中，并把v0v0并入到集合u中。
重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

class Solution {public:using rhs = pair<int, int>;int minimumCost(int n, vector<vector<int>>& connections) {vector<vector<rhs>> edge(n+1);for(auto x : connections){int a = x[0];int b = x[1];int w = x[2];edge[a].push_back(make_pair(w, b));edge[b].push_back(make_pair(w, a));}priority_queue<rhs, vector<rhs>, greater<rhs>> m_que;m_que.push(make_pair(0, 1));vector<bool> used(n+1, false);int res = 0;int cnt = 0;while(m_que.size()){auto top = m_que.top();m_que.pop();int cost = top.first;int b = top.second;if(used[b]){continue;}used[b] = true;res += cost;cnt++;for(auto x : edge[b]){int y = x.second;int w = x.first;if(!used[y]){m_que.push(make_pair(w, y));}}}if(cnt == n)return res;return -1;}
};

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