玲珑杯 1160 - 康娜与玲珑杯

题意，在n本书中要拿k本书的倍数的方案，每本书都不同，一本都不拿也算一种方案
1≤k≤3e4或者1≤k≤3e5并且为2的次幂。1≤n≤10181≤k≤3e4或者1≤k≤3e5并且为2的次幂。 1≤n≤10^18

开始以为是直接求C(n,0)+C(n,k)+C(n,2k)…

求不出来 orz

~~看了题解后~~ 问了yql大佬

先是可以得到一个递推式
F[i][j]:表示前i本书，拿j本的方案
F[i][j]=F[i-1][j]+F[i-1][j-1]

因为j比较大，我们可以用滚动数组，j=j% k
然后可以得到

答案就是f[n][0]，我们只用求第一行就行了。
设，A为图中第一个矩阵，A矩阵是k*k，如果朴素求第一行的话，时间复杂度为k*k*logn，超时gg… 然后我们发现这个可以用NTT来加速
注意到A是循环矩阵
（什么是循环矩阵？类似于 a1a3a2a2a1a3a3a2a1 \begin{matrix}a1& a2 & a3 \\a3& a1 & a2 \\a2& a3 & a1 \\\end{matrix} 的矩阵）

如果A= a1a3a2a2a1a3a3a2a1 \begin{matrix}a1& a2 & a3 \\a3& a1 & a2 \\a2& a3 & a1 \\\end{matrix}
则A*A的第一行为(a1*a1+a2*a3+a3*a2 , a1*a2+a2*a1+a3*a3, a1*a3+a2*a2+a3*a1)
这个就是f(x)=a1+(a2)x+(a3)x2f(x)=a1+(a2)x+(a3)x^2的卷积模3为0，1，2的值
卷积就可以用NTT了~用NTT的总时间复杂度为O（k*logn*logk），当k为3e4时，为1e7，但k为3e5时就会超时。因为当k>3e4时，k只能为2的幂。一般去长度为k的循环卷积，肯定做的是>2k的FFT，来保证不会出错，但是如果k是2的次幂，就可以直接做长度为k的FFT，就可以直接变成点值之后快速幂。（yql教的：>）当k为2的幂次，时间大概是O（k*logn）

<从这个题中学到了很多，感谢yql~>
<基本上是yql的代码….>

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>using namespace std;
const int maxn = 600005;
#define mod  998244353
#define ll long long
int A[maxn],B[maxn],Ans[maxn],X[maxn];
ll n;int k;
int gg=3;int fexp(int x,int p){int ans=1;for(;p;p>>=1,x=1LL*x*x%mod)if(p&1)ans=1LL*ans*x%mod;return ans;}void NTT(int *a,int f,int k){for(int i=0,j=0;i<k;i++){if(i>j)swap(a[i],a[j]);for(int l=k>>1;(j^=l)<l;l>>=1);}for(int i=1;i<k;i<<=1){int w=fexp(gg,(f*(mod-1)/(i<<1)+mod-1)%(mod-1));for(int j=0;j<k;j+=i<<1){int e=1;for(int k=0;k<i;k++,e=1LL*e*w%mod){int x,y;x=a[j+k];y=1LL*a[j+k+i]*e%mod;a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;}}}if(f==-1){int _inv=fexp(k,mod-2);for(int i=0;i<k;i++)a[i]=1LL*a[i]*_inv%mod;}
}
void Work(){if((k&(-k))==k){NTT(X,1,k);NTT(Ans,1,k);for(;n;n>>=1){if(n&1) for(int i=0;i<k;i++) Ans[i]=1LL*Ans[i]*X[i]%mod;for(int i=0;i<k;i++) X[i]=1LL*X[i]*X[i]%mod;}NTT(Ans,-1,k);}else {int t;for(t=1;t<=(k*2);t<<=1);for(;n;n>>=1){if(n&1){for(int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;for(int i=0;i<k;i++) A[i]=Ans[i],B[i]=X[i];NTT(A,1,t),NTT(B,1,t);for(int i=0;i<t;i++) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%mod;NTT(A,-1,t);for(int i=0;i<t;i++) Ans[i]=0;for(int i=0;i<t;i++) Ans[i%k]=(Ans[i%k]+A[i])%mod;}for(int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;for(int i=0;i<k;i++) A[i]=X[i];NTT(A,1,t);for(int i=0;i<t;i++) A[i]=1LL*A[i]*A[i]%mod;NTT(A,-1,t);for(int i=0;i<k;i++) X[i]=0;for(int i=0;i<t;i++) X[i%k]=(X[i%k]+A[i])%mod;}}printf("%d\n",Ans[0]);
}void init()
{Ans[0]=1;X[0]++,X[k-1]++;
}int main()
{scanf("%lld %d",&n,&k);init();Work();return 0;
}

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