P3924 康娜的线段树

题目描述
小林是个程序媛，不可避免地康娜对这种人类的“魔法”产生了浓厚的兴趣，于是小林开始教她OI。

今天康娜学习了一种叫做线段树的神奇魔法，这种魔法可以维护一段区间的信息，是非常厉害的东西。康娜试着写了一棵维护区间和的线段树。由于她不会打标记，因此所有的区间加操作她都是暴力修改的。具体的代码如下：(略)

显然，这棵线段树每个节点有一个值，为该节点管辖区间的区间和。

康娜是个爱思考的孩子，于是她突然想到了一个问题：

如果每次在线段树区间加操作做完后，从根节点开始等概率的选择一个子节点进入，直到进入叶子结点为止，将一路经过的节点权值累加，最后能得到的期望值是多少？

康娜每次会给你一个值 qwq ，保证你求出的概率乘上 qwq 是一个整数。

这个问题太简单了，以至于聪明的康娜一下子就秒了。

现在她想问问你，您会不会做这个题呢？

\(n, m <= 10^{6}\)

Solution

单点将 叶子结点\(k\) 加上 \(x\) ， 由于线段树的结构， 设此节点处于线段树第 \(dep[k]\) 层， 有答案加上：
\[x * \sum_{i = 0}^{dep[k] - 1}{\frac{1}{2^{i}}}\]\[=x * \frac{2^{n} - 1}{2^{n - 1}}(n = dep[k])\]
然后区间修改可以视为多次单点修改， 互相不构成影响， 令 \(a[i] = \frac{2^{n} - 1}{2^{n - 1}}\) ， 固有 \(l, r\) 的修改总答案加上：
\[x * \sum_{i = l}^{r}{a[i]}\]
可以以前缀和维护 \(a[i]\) ， 故式子变为：
\[(sum[r] - sum[l - 1]) * x\]
可以在 \(O(1)\) 的时间内完成一次询问
现在只需要求解每个叶子节点的深度即可

处理数据的时候有可能在前缀和部分无法很好的解决精度问题， 为了简便运算， 令所有的 \(a[i] *= 2^{maxdep}\) ， 这样每个 \(a[i]\) 就变成了
\[(2^{n} - 1) * (2^{maxdep - n + 1})\]
在输出的时候统一再除以 \(frac = 2^{maxdep}\) 即可
输出为：\[(sum[r] - sum[l - 1]) * x / frac * qwq\]

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(LL i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
LL RD(){LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}return flag * out;}
const LL maxn = 2000019;
LL num, na, qwq;
LL v[maxn], dep[maxn], maxdep;
LL ans;
#define lid (id << 1)
#define rid (id << 1) | 1
struct seg_tree{LL l, r;LL sum;}tree[maxn << 2];
void build(LL id, LL l, LL r, LL d){tree[id].l = l, tree[id].r = r;if(l == r){tree[id].sum = v[l];dep[l] = d;maxdep = max(maxdep, d);return ;}LL mid = (l + r) >> 1;build(lid, l, mid, d + 1), build(rid, mid + 1, r, d + 1);tree[id].sum = tree[lid].sum + tree[rid].sum;}
void dfs(LL id, LL d){ans += tree[id].sum * (1 << (maxdep - d + 1));if(tree[id].l == tree[id].r)return ;dfs(lid, d + 1), dfs(rid, d + 1);}
LL gcd(LL a, LL b){return !b ? a : gcd(b, a % b);}
LL a[maxn], sum[maxn];
int main(){num = RD(), na = RD(), qwq = RD();REP(i, 1, num)v[i] = RD();build(1, 1, num, 1), dfs(1, 1);LL frac = 1 << maxdep;LL d = gcd(frac, qwq);frac /= d, qwq /= d;REP(i, 1, num){a[i] = ((1 << dep[i]) - 1) * (1 << (maxdep - dep[i] + 1));sum[i] = sum[i - 1] + a[i];}while(na--){LL l = RD(), r = RD(), x = RD();ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * x;printf("%lld\n", ans / frac * qwq);}return 0;}