matlab验证柯西中值定理,对柯西中值定理的若干认识

第28卷第6期宜春学院学报(自然科学) V01．28，No．6

2006年．12月 Journal of、Yichun University(natural science)Dec．2006

对柯西中值定理的若干认识

郭森明，谢雪军

(宜春学院数学与计算机科学学院，江西宜春336000)

摘要：用分析法找到一个较简洁的辅助函数证明’柯西中值定理；利用一个新的命题证明柯西中值定理；构

造一行罗13式函数将柯西中值定理推广．

关键词：罗尔定理；柯西中值定理；构造；行列式

中图分类号：0155文献标识码：A文章编号：1671-380x(2006)06—0038-01

Some 11血峪Ⅱg on the Cauchy Theorem of mean

GUO Sen—ruing，XIE Xue—jull

(Institute ofMathematics and Computer Science，Yichun Umversity，Jiangxi Yichun，336000)

Abstract：We find a simpl function using the analytic method and proof Cauchy theorem of mean．Utilize a new proposition call be very

convenient to proof Cauchy theorem of recall．Construct a determinant function to popularize Cauchy theorem of mean．

Key words：RoHe theorem；cauchy theorem of mean；construct；determinant．

1构造一个较简洁的辅助函数

柯西中值定理的一种叙述方式是：

如果函数灭省)及F(髫)在闭区间[口，6]上连续，在开区间

(a，6)内可导，且∥(石)在(a，b)内每一点处均不为零，那末

在(a，6)内至少有一点f，使等式

丛1 2=丛璺2一￡：盟

F(b)一，(口)一F’(f)

成立．

文[1]的证明方法是构造下列满足罗尔定理的辅助函数

p(菇)

妒(戈)=f(x)一f(a)一；{粉[，(石)一F(a)]

证明的关键是如何找到满足罗尔定理的辅助函数．

下面通过分析法寻找到另一个更简洁的辅助函数，也满

足罗尔定理的条件．

分析：

欲证的等式左端是一常数，可设定爱粉=K，是否有，(6)一f(o)=科F(6)一F

(口)J?

这必须F(6)一F(口)≠0即，(b)≠F(口)，这是成立的，

因为若F(6)=F(口)，则由罗尔定理，至少有一点孝E(a，6)

使F’(f)=O，这与条件∥(并)≠O矛盾．

所以八b)一，(口)=K[F(b)一F(口)]，就是

“Ⅱ)一KF(吐)=火6)一KF(6)

观察上述等式的结构形式，我们发现一个简洁的辅助函

数：

砂(戈)=／

易验证妒(石)满足罗尔定理的全部条件，故至少有一点亭

∈(口，b)使

哆’(f)=，’(亭)一KF’(孝)=O

再由在(a，6)内∥(z)≠0，则F’(f)≠0，

因而锵=K即揣=器

2一个较弱的命题

如果将柯西中值定理条件中的∥(髫)≠O去掉，则有下

面一个较弱的命题：

命题1 如果函数以戈)及F(戈)在闭区间[d，6]上连续，

在开区间(a，6)内可导，那末在(a，b)内至少有一点手，使等

式

If(b)一以口)]F’(f)=[F(b)一F(a)l厂’(f)成立

分析：

将欲证结论改写成行

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