三门问题分析

蒙提霍尔问题，又称三门悖论，出自美国的一档电视节目，问题的描述是这样的：
选手甲面前有三扇门，其中一扇门之后是汽车，其余两扇后面是山羊。选手可以选择三扇门中的任意一个并且打开后获得该扇门后面的东西。当选手选择了一扇门，但尚未去打开它的时候，主持人（事先知道每个门之后藏的东西）会在剩下的两扇门中打开一扇藏有山羊的门，并询问选手是否要更换，选择另一扇仍然关着的门。
据说节目一经播出就引起了热烈的讨论，有两种观点最主流：一是换，因为另一扇门后有车的概率是2/3，最初选定的那扇门有车的概率只有1/3；另一种是换不换无所谓，剩下两扇门中每扇门之后有车的概率都是1/2；
乍一看，似乎第二种观点很有道理，当初我也是赞同第二种观点的。但是，仔细推敲后，第一种观点才是正确的。
整个问题可以这样看：
根据选手的选择，一共有如下三种情况：（称两只山羊分别为1与2）
1. 选手甲选择的门后是山羊1，主持人打开了藏有山羊2的门
2. 选手甲选择的门后是山羊2，主持人打开了藏有山羊1的门
3. 选手甲选择的门后是汽车，主持人打开了其余两扇门中的任意一个。
三种情况中，有两种情况换了可以获得汽车，因此，选择换可以获得汽车的概率更大，是2/3。
说的通俗一点，选手甲选定了A号门，这扇门后有车的概率显然是1/3，也可以说有2/3的概率车不在A号门中，而在B或C号门中，然后，主持人又帮忙在B、C两扇门中打开（排除）了一扇藏有山羊的，那么，显然另一扇没有被打开的门后面藏有汽车的概率是2/3，比A号门1/3的概率大，因此要换。
那么为什么那么多人支持第二种观点呢？
其实我当初是这样思考的：当选手甲最开始选择的时候，选中的一扇门之后藏有车概率当然是1/3。但是当主持人排除了一个之后，还剩下两扇门，要么车在这扇门之后，要么在那扇门之后，在任意一扇门后的概率当然是1/2，因此，换不换无所谓。
我相信大多数支持第二种观点的人与我当初的想法大致类似。
那么这种观点为什么错了呢？其实当我们最初选择的时候，基于的样本总数是3，选择的门后面藏有车的概率是1/3，这个概率是不会改变的，之后发生的事时不能影响其概率的。也就是说，重复多次，选定了一扇门之后，通过打开其余两扇门来判断所选的门之后藏有车，此时得到的频率是1/3。（而第二种观点则认为它会变）
同时，第二种观点还错搞混了概率这个概念。事实上概率是人们抽象和总结出来的事物的客观规律，是不以人的意志为转移的。
这么来说，如果主持人询问甲是否要更换选择时，来了一个对此前的情况毫不知情的选手乙，那么乙选中汽车的概率是多少？其实在乙看来，就是两扇门中有一扇门之后藏有汽车，一扇门后藏有汽车的概率是1/2，选中汽车的概率也是1/2.
可能会有人有疑问，为什么在这相同的情况下有着不同的概率？其实，这两种情况是不一样的，选手甲比选手乙拥有的消息更多。对乙来说，只知道了两扇门中有一扇有汽车，还有一扇已经打开了没有什么关系的门；而对甲来说，他知道的信息是自己没有选择的门中已经有一扇门被排除了。正是由于这两人所得知的信息不一样，概率才不一样。

附例题

假设我在找一封信，有1/10的概率是我把它弄丢了，不然就是我之前随机的把它放在了3个抽屉里，现在打开了第一个抽屉，发现并没有我的信，问信在剩余的2个抽屉里的概率有多大？

答案是3/5

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