多目标规划以及Matlab实现

预备知识：

单目标规划

Matlab优化工具箱的的相关函数（linprog,fmincon）

线性规划：

linprog

常用调用格式：

x = linprog(f,A,b)

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

[x,fval] = linprog(___)

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量 x 的一组下界和上界，使解始终在 lb ≤ x ≤ ub 范围内。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。

[x,fval] = linprog(___) 返回目标函数 fun 在解 x 处的值：fval = f'*x。

上面的调用格式是基于线性规划的标准型来的，任何线性规划都可以转化为标准型

线性规划标准型

例1

% linprog
A=[-2 5 -1;1 3 1];
Aeq=[1 1 1];
lb=[0;0;0];
b=[-10;12];
beq=[7];
f=[-2;-3;5];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);
x,fval=-fval

x_1=6.4286,x_2=0.5714,x_3=0是最优解

最优解的值为f=14.5714

非线性规划：

fmincon

x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

[x,fval] = fmincon(___)

执行最小化时，满足 nonlcon 所定义的非线性不等式 c(x) 或等式 ceq(x)。fmincon 进行优化，以满足 c(x) ≤ 0 和 ceq(x) = 0。如果不存在边界，请设置 lb = [] 和/或 ub = []。

fun:目标函数

x0:自变量的初始值

A,b,Aeq,beq:线性规划标准型的参数，若没有线性约束条件，这里填写[].

lb,ub是列向量，是自变量x的下界和上界，若没有上下界，填写[].

nonlcon:非线性约束条件，是一个含有自变量x的分量的列向量:

创建一个m文件，命名为fun,m

function f=fun(x)
f=x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2+8

fun2.m

function [c,ceq]=fun2(x)
c=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2;x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
ceq=[-x(1)-x(2)^2+2;x(2)+2*x(3)^2-3];

main.m

[X,fval]=fmincon('fun',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

运行结果

$\\x_1=0.5522,x_2=1.2033,x_3=0.9478\\ f=10.6511$

多目标规划：

理论部分：

传统的多目标规划有多种方法，下面我列举3个常用的方法

1.序贯法

序贯法是确定目标函数的重要性次序，根据次序，先求解第一个目标函数最优解对应的解空间，缩小定义域，使得第一个目标函数在当前定义域下的最优解不变差，反复这个过程，在依次求解后续目标函数的解空间，在这里我们保证，前面的目标函数解的最优性不被后面的目标函数影响，这就体现了重要性次序。

目标函数：这里设第i次求解时，定义域为D_i,，第i次求解时，f_i的最优解为f_i^*

$Min f(\boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{r}P_i f_i(\boldsymbol{x})$

$x\in D_0$

第1次求解：

$Min f_1(x)$

$s.t. x\in D_1$

第2次求解：

$Min f_2(x)$

$s.t. x\in D_2=D_1\cap \{x|f_1(x)\le f_1^*\}$

第k次求解：

$Min f_k(x)$

$s.t. x\in D_k=D_{k-1}\cap \{x|f_{k-1}(x)\le f_{k-1}^*\}$

直到定义域变为空集

这是一个客观的算法

2.加权法

加权法是对每个目标函数加权处理

这里的约束条件是 $min f(x)=\sum_{i=1}^{k}\omega_i f_i(\boldsymbol{x})$

线性加权的权重通常需要专家来判定，主观性较强，但是这个模型比较直观，求解也相对简单，确定了权重后，就转化为单目标规划问题，利用前面单目标规划的代码即可解决问题

3.理想点法

多目标规划的每个目标函数都有最优解，我们记录每个目标函数的最优解，每个目标函数的最优解构成的向量称为理想解，重新构造一个目标函数，这个目标函数的目的是使自变量的取值在可行解的范围内，距离理想解最近。

$Min Z=\sqrt{distance(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{f^*})}$

常见的距离是欧氏距离

$Min Z=\sqrt{\sum_{i=1}^{r} (f_i(\boldsymbol{x})-f_i^*)}$

例题：

fx1=[3;-2];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
[x1,fav1]=linprog(fx1,a,b,[],[],lb,ub);
fx2=[-4;-3];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
[x2,fav2]=linprog(fx2,a,b,[],[],lb,ub);
x0=[1;1];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
x=fmincon('((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2)',x0,a,b,[],[],lb,ub)
f1=-3*x(1)+2*x(2)
f2=4*x(1)+3*x(2)

求解结果：

x =

0.5268

5.6488

f1 =

9.7171

f2 =

19.0537

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