【ADRC】跟踪微分器

在上一篇文章中，分析了PID算法的基本数学原理，从PID算法的原理与实际应用，是可以看出其PID的优点与缺点的，ADRC算法(自抗扰控制)也可以说是针对PID算法的一些缺点，或者说工程中难以实现的点做的一个改进的算法。因此后续我会将ADRC的各个部分分别介绍与分析，本节即从最先出现的比较重要的环节---跟踪微分器开始。

PID的缺点

在开始学习跟踪微分器之前，有必要简要的介绍一下PID算法的主要缺点：

1.从PID的原理可以看出PID的稳定裕度是不小的，但其动态性能的裕度并不大。也就是说，如果被控对象处于一个动态变化的环境之中时，便需要经常改动PID的增益来达到控制效果

2.PID算法的核心是：基于误差反馈来消除误差，但有时这种方式并不是最合理的，在初始状态时，直接取这种误差，往往会使初始控制量太大而出现超调的现象，正是这个原因，导致PID算法控制的系统会有“快速性”与“超调”的矛盾

3.在实际应用中，由于实际测量很少有比较合适的微分器，导致大部分的系统使用PI控制，从而限制了PID的控制能力

上述描述中，有两个点比较重要，一个是由于初始误差较大而导致控制量大进而导致的超调问题，另一个是微分信号获取得不准确的问题导致PID中的D项没有发挥出应有的作用。而跟踪微分器便是一个解决这两个问题的一个较好的工具。

跟踪微分器的作用

与PID的缺点相对应，跟踪微分器的作用是提供两个信号：一个是目标点的过渡信号，一个是目标点过渡信号的微分信号。过渡信号的意思可以简单的理解为缓慢的向目标点靠近而不阶跃，不超调。即过渡信号可以理解为惯性环节，不超调，缓慢的向目标点生成一条曲线。

线性跟踪微分器

线性跟踪微分器的原理是根据二阶系统的一个传递函数得来，即：

这个传递函数的性质是非常好的，由于截止频率分子上与分母相等，都为r^2，因此此传递函数的阶跃响应最终会收敛到1，即稳态值是1。

另外，其中的阻尼系数 ξ 可以控制中间达到稳态时的过程，当 ξ <1 时，欠阻尼，阶跃响应速度变快，但是超调变大；当 ξ > 1时，过阻尼，系统没有超调，但是达到稳态的时间变长；当 ξ = 1 时，系统会无超调的一次进入稳态值。这便是我们想要的一个理想的线性跟踪微分器。当 ξ = 1时，传递函数就变成：

此时的参数 r 便可以代表系统的收敛速度，r越大，系统收敛得越快，就越快达到设定值，但实际调试的时候需要根据实际系统来调试r，不同的系统可以达到的实际收敛速度是不同的。

之后便可以根据此传递函数来推导出线性跟踪微分器(TD)的微分方程：

输出x1一直跟踪输入v，x2为x1的微分。接下来可以建立simulink模型看看效果：

我们可以随便指定一个传递函数作为被控对象，之后一个使用PID模块，另一个输入信号增加过渡曲线之后，再经过PID模块，参数都只使用PI参数，都写一样，可以对比看一下过渡曲线的作用：

非线性跟踪微分器

非线性跟踪微分器首先可以联系线性跟踪微分器TD来建立一个二阶积分串联系统：

其中x1相当于是目标过渡信号，x2相当于是过渡信号的微分信号，如果将控制量 u 的控制率修改为一个非线性函数，便可以得到一个非线性跟踪微分器，这个非线性函数的形式有很多种，比较常用的是快速最优控制综合函数：

快速最优控制综合函数有点像最优控制中 bang-bang控制的思想，不过其原理的话，也比较容易理解，我们可以将这个式子拆分来理解：

v 为目标位置，x1为当前位置，x1 - v 表示的是目标位移，即像上图中，将符号函数括号内的内容看做两部分组成，一个是目标位移，一个是减速到0过程的位移，减速过程的位移还是挺好推导的，高中的物理知识：

x = (v1^2 - V2^2) / 2*a

由于减速是有正负号的，因此写作 x2 * |x2| 的形式。当目标位移比减速过程的位移大时，即减速到0并不能达到目标位置，因此u = -r ，以-r的加速度减速，反之，则u = +r，加速。

之后可以建立simulink模型来观察：

线性与非线性跟踪微分器对比

将两个微分器的效果进行对比，使用相同的参数r：

在使用相同的阶跃信号与相同的参数r的情况下，非线性跟踪微分器的收敛速度是要快很多的，不过也有末端的尖峰的缺点，不过具体他们的实际效果作用在控制系统中如何，需要后续再进一步对比。其实做到这一步，已经有对于PID算法的改进效果了，不过后续再针对性的做实验，记录笔记。