作者前言

大家好,我是阿濠,今篇内容跟大家分享的是查找算法之斐波那契(黄金分割法)查找,很高兴分享到segmentfault与大家一起学习交流,初次见面请大家多多关照,一起学习进步.

一、斐波那契数列介绍

被我们称为"斐波拉契"的人，真实姓名叫列昂纳多，来自比萨，这个数列出自他的书《算盘宝典》("Liber Abaci")，这本书奠定西方世界的数学基础，其中的算法方法一直沿用至今

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列指的是这样一个数列： 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21....

特别指出：第0项是0，第1项是第一个1

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契公式：F(k)=F(k-1)+F(k-2) 提示：F(1)=1 F(2)=1

初识美丽漂亮的黄金分割

黄金分割点是把一条线段分割为两部分，其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

取其前三位数字的近似值是0.618，这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。

如果用大的斐波那契数 / 小的斐波那契数,也会发现越来越接近0.618

二、斐波那契(黄金分割法)查找算法介绍

基本原理

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点(mid)的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1 (F代表斐波那契数列)

对F(k-1)-1的理解:

1.根据公式： F[k] = F[k-1] + F[k-2]，得到(F[k]-1) = (F[k-1]-1) + (F[k-2]-1) +1

2.因为有时候顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1 ，将原数组查找表扩展为长度为F[k]-1 (如果要补充元素，则补充重复最后一个元素，直到满足F[k]-1个元素)，完成后进行斐波那契分割。

3.如图所示，只要顺序表的长度为 F[k]-1 就可以分割为前半部分F[k-1]-1]个元素，后半部分 F[k-2]-1 个元素，从而确定中间位置为 mid = low+F(k-1)-1，找出要查找的元素在那一部分并递归，直到找到。

为什么(F[k]-1) = (F[k-1]-1) + (F[k-2]-1) +1 ?

因为根据公式得出：F[k] = F[k-1] + F[k-2]，而斐波那契数列是指：{1,1,2,3,5,8, 13...}
若此时 k = 4 ，则代入公式：F[4] = F[4-1] + F[4-2]，求出数列F[4] 结果：5
若此时代入(F[k]-1)，那么本来 求F[4] 就变成求 (F[4]-1) 结果就是f[4] - 1 = 5 - 1 = 4
公式代入则是：(F[4]-1) = (F[4-1]-1) + (F[4-2]-1) 也就是(F[4]-1) = (F[3]-1) + (F[2]-1)
摊开来将F[4]=5、F[3]=3、F[2]=1 代入：(5-1) = (3-1) + (2-1) 此时再 + 1 就相等了

三、通过应用示例认识斐波那契查找算法

对有序数组arr={1,8,10,89,1000,1234}，进行斐波那契查找，输入一数看看该数组是否存在此数，存在则求出下标，如果没有就返回-1 表示没有这个数

//因为后面我们mid=low+F(k-1)-1,需要使用到斐波那契数列
//因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
//非递归方法得到一个斐波那契数列
public static int[] fib() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for(int i=2;i<maxSize;i++){f[i] = f[i- 1] + f[i- 2];}return f;
}//使用非递归实现
/*** @param arr 数组* @param key 我们要查找的关键值(码)* @return 返回对应的下标 如果没有返回-1*/
public static  int fibSearch(int [] arr,int key) {int low = 0;int hight = arr.length - 1;int k = 0;//表示斐波那契分割数值下标int mid = 0;int f[] = fib();//获取斐波那契数列//判断顺序表长度 n 是否等于 F [k]-1 `，不等于将`原数组查找表扩展为长度为F[k]-1//假设当前传入的数组：1, 8, 10, 89, 1000, 1234  hight = 5//斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13...while (hight > f[k] - 1) {k++;}//如果要补充元素，则补充重复最后一个元素，直到满足F[k]-1个元素int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);//此时 k =5  f[5]=8//因为arr[hight]代表最后一个元素，新数组temp = Arrays.copyOf(arr,f[k]);//所以若想最后元素当作填充元素就应该是从hight + 1 开始for (int i = hight + 1; i < temp.length; i++) {temp[i] = arr[hight];}while (low <= hight) {//按图所示进行黄金分割前部分+后部分mid = low + f[k - 1] - 1;//如果需要找的值key 小于temp[mid]说明我们应该继续向数组的前面查找(左边)if (key < temp[mid]) {hight = mid - 1;//往前缩范围//为什么是k--//1.全部元素= 前面的元素 + 后边元素//2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]//之前(F[k]-1) = (F[k-1]-1) + (F[k-2]-1) +1//按图所示，目前我们这里是mid= low + f[k - 1] -1;//如果继续向数组的前面查找(左边)则应该是(F[k-1]-1)进行拆分//(F[k-1]-1)=(F[k-1-1]-1) + (F[k-2-2]-1) +1 = 4 = 2 + 1 + 1//即在f[k-1]-1 的前面继续查找k--//即下次循环mid = f[k-1-1] -1k--;}//我们应该继续向数组的后面查找(右边)if (key > temp[mid]) {low = mid + 1;//为什么是k -=2//1. f[k] = f[k-1] + f[k-2] .//2.因为后面我们有f[k-2],所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]//3.即在f[k-2]的前面进行查找k -=2，即下次循环mid = f[k -1 - 2] -1k -= 2;}if (key == temp[mid]) {//因为之前如果要补充元素，则补充重复最后一个元素，直到满足F[k]-1个元素//如果小于hight代表是arr数组里的值if (mid <= hight) {return mid;} else {//否则说明查找得到的数据元素是temp数组里的补充值return hight;}}}return -1;
}

如果存在则求出下标，如果没有就返回-1表示没有这个数

执行代码测试一下数据看看，点击这里运行代码

四、算法复杂度分析

斐波那契查找的时间复杂度是：O(log 2 n )

与二分法折半查找相比，斐波那契查找的优点是它只涉及加法和减法运算，而不用除法，而除法比加减法要占用更多的时间，因此，斐波那契查找的运行时间理论上比折半查找小，但是具体还是得视具体情况而定。

五、斐波那契数列的有趣知识

计算中的斐波那契数列

让我们计算一下，头几个斐波那契数列的平方

毫无意外的，当你加上两个连续的斐波那契的数字时，你会得到下一个斐波那契数，但是也许你不知道把斐波那契数的平方，加起来会有什么有意思的结果？

没错，规律还在~事实上，还有一个规律，你计算一下头几个斐波那契数列的平方和

你可能觉得它们不是斐波那契数，但是如果你看的够仔细，会发现背后隐藏着斐波那契数

那么你就会发现1 、1 、2 、3 、5 、8的各平方加起来 = 104 = 8x13 why？

用一个简单的图形解答一下，先让我们画一个1 乘 1 的方块

现在问大家一个问题：这个矩形的面积是多少？

一方面它的面积是：组成它的小矩形之和

一方面因为是矩形，它的面积：长 * 高

所以这就是为什么1 、1 、2 、3 、5 、8的各平方加起来 = 104 = 8x13

黄金矩形与黄金螺旋

通过上面的知识点了解了黄金分割线，那么我们来再了解一下黄金矩形与黄金螺旋

生活中的斐波那契

斐波那契数列在自然界中神奇的出现，一朵花的花瓣数量、向日葵的螺旋，菠萝上表面的凸起，一般都对应着某个斐波那契数列

简单的说，植物的生长点每个一个角度就会发展出一个侧芽，如果这个侧芽角度太过平庸，新芽旋转几周后之后就会与老的侧芽对在一起，即浪费空间又争夺资源