解的存在唯一性定理与逐步逼近法
解的存在唯一性定理与逐步逼近法
- 研究对象
- 预备知识
- 利普希茨条件
- 魏尔斯特拉斯判别法
- 定理
- 定理1(解的存在唯一性定理)
- 定理2
- 证明
- 定理一的证明
- 命题1 该微分方程等价于一积分方程
- 命题2 皮卡逐步逼近函数序列于初值的距离小于一个常数
- 命题3：函数序列 {φn(x)}\{\varphi_n(x)\}{φn(x)} 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上是一致连续的.
研究对象
dydx=f(x,y)(1)\frac{dy}{dx}=f(x,y)\tag{1} dxdy=f(x,y)(1)
这里 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 是在矩形域
R:∣x−x0∣≤a,∣y−y0∣≤bR:|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b R:∣x−x0∣≤a,∣y−y0∣≤b
上的连续函数
预备知识
利普希茨条件
函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 称为在 RRR 上关于 yyy 满足利普希茨条件，如果存在常数 L>0L>0L>0 使得不等式
∣f(x,y1)−f(x,y2)∣⩽L∣y1−y2∣|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant L|y_1-y_2| ∣f(x,y1)−f(x,y2)∣⩽L∣y1−y2∣
对于所有 (x,y1),(x,y2)∈R(x,y_1),(x,y_2)\in R(x,y1),(x,y2)∈R 都的成立，LLL 称为利普希茨常数
魏尔斯特拉斯判别法
设函数项级数 ∑n=1∞un(x)(x∈D)\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)(x\in D)n=1∑∞un(x)(x∈D) 的每一项 un(x)u_n(x)un(x) 满足
∣un(x)∣⩽an,x∈D,|u_n(x)|\leqslant a_n,x\in D,∣un(x)∣⩽an,x∈D,
并且数项级数 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞an 收敛，则 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)n=1∑∞un(x) 在 DDD 上一致收敛
定理
定理1(解的存在唯一性定理)
如果 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在矩形域 RRR 上连续且关于 yyy 满足利普希茨条件，则方程(1)存在唯一的解 y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) ,定义于区间 ∣x−x0∣≤h|x-x_0|\le h∣x−x0∣≤h 上,连续且满足初值条件
φ(x0)=y0\varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0
这里 h=min(a,bM)h=\min\left(a,\frac{b}{M}\right)h=min(a,Mb) ，M=max(x,y)∈R∣f(x,y)∣M=\max\limits_{(x,y)\in R}|f(x,y)|M=(x,y)∈Rmax∣f(x,y)∣
定理2
F(x,y,y′)=0(2)F(x,y,y')=0\tag{2} F(x,y,y′)=0(2)
如果在点 (x0,y0,y0′)(x_0,y_0,y_0')(x0,y0,y0′) 的某一个领域中，
- F(x,y,y′)F(x,y,y')F(x,y,y′) 对所有变元 (x,y,y′)(x,y,y')(x,y,y′) 连续，且存在连续偏导数
- F(x0,y0,y0′)=0F(x_0,y_0,y_0')=0F(x0,y0,y0′)=0
- ∂F(x0,y0,y0′)∂y′≠0\frac{\partial F(x_0,y_0,y_0')}{\partial y'}\ne0∂y′∂F(x0,y0,y0′)=0
则方程存在唯一解
证明
定理一的证明
命题1 该微分方程等价于一积分方程
命题1： 设 y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是方程(1)的定义于区间 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上，满足初值条件
φ(x0)=y0(1.1.1)\varphi(x_0)=y_0\tag{1.1.1}φ(x0)=y0(1.1.1)
的解，则 y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是积分方程
y=y0+∫x0xf(x,y)dx,x0⩽x⩽x0+h(1.1.2)y=y_0+\int_{x_0}^x f(x,y)dx,x_0\leqslant x\leqslant x_0+h\tag{1.1.2}y=y0+∫x0xf(x,y)dx,x0⩽x⩽x0+h(1.1.2)
的定义于 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上的连续解，反之亦然。
证明： 因为 y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是方程 (1) 的解，故有
dφ(x)dx=f(x,φ(x))\frac{d\varphi(x)}{dx}=f(x,\varphi(x))dxdφ(x)=f(x,φ(x))
两边从 x0x_0x0 到 xxx 取定积分得到：
φ(x)−φ(x0)=∫x0xf(x,φ(x))dx,x0⩽x⩽x0+h\varphi(x)-\varphi(x_0)=\int_{x_0}^xf(x,\varphi(x))dx,x_0\leqslant x\leqslant x_0+hφ(x)−φ(x0)=∫x0xf(x,φ(x))dx,x0⩽x⩽x0+h
把 (1.1.1)(1.1.1)(1.1.1) 带入上式，得
φ(x)=y0=∫x0xf(x,φ(x))dx,x0⩽x⩽x0+h\varphi(x)=y_0=\int_{x_0}^xf(x,\varphi(x))dx,x_0\leqslant x\leqslant x_0+hφ(x)=y0=∫x0xf(x,φ(x))dx,x0⩽x⩽x0+h
因此，y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是 (1.1.2)(1.1.2)(1.1.2) 定义于 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上的连续解
反之，如果 y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是 (1.1.2)(1.1.2)(1.1.2) 的连续解，则有
φ(x)=y0+∫x0xf(x,φ(x))dx,x0⩽x⩽x0+h.(1.1.3)\varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,\varphi(x))dx,x_0\leqslant x\leqslant x_0+h.\tag{1.1.3}φ(x)=y0+∫x0xf(x,φ(x))dx,x0⩽x⩽x0+h.(1.1.3)
微分之，得到
dφ(x)dx=f(x,φ(x))\frac{d\varphi(x)}{dx}=f(x,\varphi(x))dxdφ(x)=f(x,φ(x))
又把 x=x0x=x_0x=x0 带入 (1.1.3)(1.1.3)(1.1.3),得到
φ(x0)=y0\varphi(x_0)=y_0φ(x0)=y0
因此，y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是方程 (1)(1)(1) 定义于 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上，且满足 (1.1.1)(1.1.1)(1.1.1) 的解
命题1证毕
命题2 皮卡逐步逼近函数序列于初值的距离小于一个常数
现在取 φ0(x)=0\varphi_0(x)=_0φ0(x)=0, 构造皮卡逐步逼近函数序列如下：
{φ0(x)=y0φn(x)=y0+∫x0xf(ξ,φn−1(ξ))dξ,x0⩽x⩽x0+h(1.2.1)\left\{\begin{aligned} &\varphi_0(x)=y_0\\[10pt] &\varphi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(\xi,\varphi_{n-1}(\xi))d\xi,x_0\leqslant x\leqslant x_0+h\tag{1.2.1}\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧φ0(x)=y0φn(x)=y0+∫x0xf(ξ,φn−1(ξ))dξ,x0⩽x⩽x0+h(1.2.1)
(n=1,2,⋯)(n=1,2,\cdots)(n=1,2,⋯)
命题2： 对于所有的 nnn,(1.2.1)(1.2.1)(1.2.1) 中函数 φn(x)\varphi_n(x)φn(x) 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上有定义、连续且满足不等式
∣φn(x)−y0∣⩽b|\varphi_n(x)-y_0|\leqslant b∣φn(x)−y0∣⩽b
证明： 当 n=1n=1n=1 时， φ1(x)=y0+∫x0xf(ξ,y0)dξ,\varphi_1(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(\xi,y_0)d\xi,φ1(x)=y0+∫x0xf(ξ,y0)dξ, 显然 φ1\varphi_1φ1 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上有定义、连续，且有：
∣φ1(x)−y0∣=∣∫x0xf(ξ,y0)dξ∣⩽∫x0x∣f(ξ,y0)∣dξ⩽M(x−x0)⩽Mh⩽b\begin{aligned} |\varphi_1(x)-y_0|&=|\int_{x_0}^xf(\xi,y_0)d\xi|\\ &\leqslant\int_{x_0}^x|f(\xi,y_0)|d\xi\\ &\leqslant M(x-x_0)\leqslant Mh\leqslant b \end{aligned}∣φ1(x)−y0∣=∣∫x0xf(ξ,y0)dξ∣⩽∫x0x∣f(ξ,y0)∣dξ⩽M(x−x0)⩽Mh⩽b
即命题2当 n=1n=1n=1 时成立.现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数 nnn,命题2都成立。为此，设命题2当 n=kn=kn=k 时成立，也即 φk\varphi_kφk 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上有定义、连续且满足不等式
∣φk(x)−y0∣⩽b|\varphi_k(x) -y_0|\leqslant b∣φk(x)−y0∣⩽b
这时
φk+1(x)=y0+∫x0xf(ξ,φk(ξ))dξ\varphi_{k+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(\xi,\varphi_k(\xi))d\xiφk+1(x)=y0+∫x0xf(ξ,φk(ξ))dξ
由假设，命题2当 n=kn=kn=k 时成立，知道 φk+1(x)\varphi_{k+1}(x)φk+1(x) 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 有定理、连续且有：
∣φk+1(x)−y0∣=∣∫x0xf(ξ,φk(ξ))dξ∣⩽∫x0x∣f(ξ,φk(ξ))dξ∣⩽M(x−x0)⩽Mh⩽b\begin{aligned} |\varphi_{k+1}(x)-y_0|&=|\int_{x_0}^xf(\xi,\varphi_k(\xi))d\xi|\\ &\leqslant \int_{x_0}^x|f(\xi,\varphi_k(\xi))d\xi|\\ &\leqslant M(x-x_0)\leqslant Mh\leqslant b \end{aligned}∣φk+1(x)−y0∣=∣∫x0xf(ξ,φk(ξ))dξ∣⩽∫x0x∣f(ξ,φk(ξ))dξ∣⩽M(x−x0)⩽Mh⩽b
即命题2当 n=k+1n=k+1n=k+1 时也成立.由数学归纳法得知命题2对所有 nnn 均成立.定理2.1证毕。
命题3：函数序列 {φn(x)}\{\varphi_n(x)\}{φn(x)} 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上是一致连续的.
证明： 我们考虑级数
φ0(x)+∑k=1∞[φk(x)−φk−1(x)],x0⩽x⩽x0+h(1.3.1)\varphi_0(x)+\sum_{k=1}^\infty[\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)],x_0\leqslant x\leqslant x_0+h\tag{1.3.1}φ0(x)+k=1∑∞[φk(x)−φk−1(x)],x0⩽x⩽x0+h(1.3.1)
它的部分和为 φn(x)\varphi_{n}(x)φn(x)
因此，要证明函数序列 {φn(x)}\{\varphi_n(x)\}{φn(x)} 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上一致收敛，只需证明级数 (1.3.1)(1.3.1)(1.3.1) 在 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 上一致收敛.为此，我们进行如下的估计，由 (1.2.1)(1.2.1)(1.2.1) 有：
∣φ1(x)−φ0(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φ0(ξ))∣dξ⩽M(x−x0)(1.3.2)|\varphi_1(x)-\varphi_0(x)|\leqslant\int_{x_0}^x|f(\xi,\varphi_0(\xi))|d\xi\leqslant M(x-x_0)\tag{1.3.2}∣φ1(x)−φ0(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φ0(ξ))∣dξ⩽M(x−x0)(1.3.2)
及
∣φ2(x)−φ1(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φ1(ξ))−f(ξ,φ0(ξ))∣dξ|\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|\leqslant\int_{x_0}^x|f(\xi,\varphi_1(\xi))-f(\xi,\varphi_0(\xi))|d\xi∣φ2(x)−φ1(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φ1(ξ))−f(ξ,φ0(ξ))∣dξ
利用利普希茨条件及 (1.3.2)(1.3.2)(1.3.2)，得到
∣φ2(x)−φ1(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φ1(ξ))−f(ξ,φ0(ξ))∣dξ⩽L∫x0x∣φ1(ξ)−φ0(ξ)∣dξ⩽L∫x0xM(ξ−x0)dξ=ML2!(x−x0)2\begin{aligned} |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|&\leqslant\int_{x_0}^x|f(\xi,\varphi_1(\xi))-f(\xi,\varphi_0(\xi))|d\xi\\ &\leqslant L\int_{x_0}^x|\varphi_1(\xi)-\varphi_0(\xi)|d\xi\\ &\leqslant L\int_{x_0}^xM(\xi-x_0)d\xi=\frac{ML}{2!}(x-x_0)^2 \end{aligned}∣φ2(x)−φ1(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φ1(ξ))−f(ξ,φ0(ξ))∣dξ⩽L∫x0x∣φ1(ξ)−φ0(ξ)∣dξ⩽L∫x0xM(ξ−x0)dξ=2!ML(x−x0)2
设对于正整数 nnn，不等式
∣φn(x)−φn−1(x)∣⩽MLn−1n!(x−x0)n|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{n-1}}{n!}(x-x_0)^n∣φn(x)−φn−1(x)∣⩽n!MLn−1(x−x0)n
则由利普希茨条件，当 x0⩽x⩽x0+hx_0\leqslant x\leqslant x_0+hx0⩽x⩽x0+h 时，有
∣φn+1(x)−φn(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φn(x))−f(ξ,φn−1(x))∣dξ⩽∫x0xL∣φn(x)−φn−1(x)∣dξ⩽MLnn!∫x0x(x−x0)ndξ=MLn(n+1)!(x−x0)n+1\begin{aligned} |\varphi_{n+1}(x)-\varphi_n(x)|&\leqslant\int_{x_0}^x|f(\xi,\varphi_n(x))-f(\xi,\varphi_{n-1}(x))|d\xi\\ &\leqslant\int_{x_0}^xL|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|d\xi\\ &\leqslant \frac{ML^n}{n!}\int_{x_0}^x(x-x_0)^nd\xi\\ &=\frac{ML^n}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{aligned}∣φn+1(x)−φn(x)∣⩽∫x0x∣f(ξ,φn(x))−f(ξ,φn−1(x))∣dξ⩽∫x0xL∣φn(x)−φn−1(x)∣dξ⩽n!MLn∫x0x(x−x0)ndξ=(n+1)!MLn(x−x0)n+1
于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数 kkk,有如下的估计：
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