【数理知识】《数值分析》李庆扬老师-第9章-常微分方程初值问题数值解法

2024-05-16 01:16:52

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第9章-常微分方程初值问题数值解法

9.1 引言
- 利普希茨 (Lipschitz) 条件 / 利普希茨常数
- 定理1 解的存在唯一性定理
- 定理2 解对初值依赖的敏感性
9.2 简单的数值方法
- 欧拉 (Euler) 方法
9.3 龙格-库塔方法
9.4 单步法的收敛性与稳定性
9.5 线性多步法
9.6 线性多步法的收敛性与稳定性
9.7 一阶方程组与刚性方程组

9.1 引言

一阶常微分方程
y′=f(x,y),x∈[x0,b](1.1)y'=f(x,y),\quad x\in[x_0,b] \tag{1.1}y′=f(x,y),x∈[x0,b](1.1)

y(x0)=y0(1.2)y(x_0)=y_0 \tag{1.2}y(x0)=y0(1.2)

利普希茨 (Lipschitz) 条件 / 利普希茨常数

定理1 解的存在唯一性定理

设 fff 在区域 D={(x,y)∣a≤x≤b,y∈R}D=\{(x,y)|a\le x \le b, y\in\mathbb{R}\}D={(x,y)∣a≤x≤b,y∈R} 上连续，关于 yyy 满足利普希茨条件，则对任意 x0∈[a,b],y0∈Rx_0\in[a,b], y_0\in\mathbb{R}x0∈[a,b],y0∈R，常微分方程初值问题（1.1）式和（1.2）式当 x∈[a,b]x \in[a,b]x∈[a,b] 时存在唯一的连续可微解 y(x)y(x)y(x)。

定理2 解对初值依赖的敏感性

9.2 简单的数值方法

积分曲线上一点 (x,y)(x,y)(x,y) 的切线斜率等于函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 的值。

欧拉 (Euler) 方法

y(xn+1)−y(xn)h≈y′(xn)=f(xn,y(xn))\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h} \approx y'(x_n) = f(x_n, y(x_n))hy(xn+1)−y(xn)≈y′(xn)=f(xn,y(xn))

9.3 龙格-库塔方法

9.4 单步法的收敛性与稳定性

9.5 线性多步法

9.6 线性多步法的收敛性与稳定性

9.7 一阶方程组与刚性方程组

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