最速下降法matlab全局最小值

1、梯度概念

(1)从几何意义上讲，就是函数变化最快的地方。

在单变量的函数中，梯度只是导数，其实就是函数在某个给定点的切线的斜率；
在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向。

(2)举例说明

(3)举例说明

多变量求微分，需要对每个变量求微分

梯度就是多变量求微分的一般化

2、代价函数

假设有训练样本(x, y)，模型为h，参数为θ。

代价函数其实就是指任何能够衡量模型预测出来的值 h(θ) 与真实值 y 之间的差异的函数都可以叫做代价函数 C(θ) 。它的标准定义如下：

其中的1/2是为了方便后面计算加入的。最后用以下公式表示目标函数(代价函数)：

实例：

3、梯度下降

(1)梯度下降是一个用来求函数最小值的算法。

梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到找到一个局部最小值(local minimum)，因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值(globalminimum)，选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。

(2)梯度下降算法公式表示：

有一点需要注意的是步长a的大小，如果a太小，则会迭代很多次才找到最优解，若a太大，可能跳过最优，从而找不到最优解。(用a代替阿发)

另外，在不断迭代的过程中，梯度值会不断变小，所以θ1的变化速度也会越来越慢，所以不需要使速率a的值越来越小.

4、批量梯度下降

它是指在每一次迭代时使用所有样本来进行梯度的更新。从数学上理解如下：

其中‘：=’表示赋值。

注意这里更新时存在一个求和函数，即为对所有样本进行计算处理。

5、随机梯度下降

随机梯度下降法不同于批量梯度下降，随机梯度下降是每次迭代使用一个样本来对参数进行更新。使得训练速度加快。

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