枚举子集复杂度 O(n^3) 证明

困扰多年的问题，居然在学习离散数学后的一分钟内得到解决。
形式化问题为，求满足 A ⊆ B ⊆ S A \sube B \sube S A⊆B⊆S 的有序对 < A , B > <A,B> <A,B> 的个数。

法1

类比子集数量的求法。每个元素有四种可能

同时在 A A A， B B B
在 A A A 不在 B B B
在 B B B 不在 A A A
都不在

其中由题，在 A A A 不在 B B B 不符合题意，所以每个元素有三种可能，最后是 3 n 3^n 3n

法2

按照 A A A 中的元素个数 k k k 分类，对于一个固定的 k k k，有序对有 C ( n , k ) ⋅ 2 n − k C(n,k) \cdot 2^{n-k} C(n,k)⋅2n−k 个，其中 C ( n , k ) C(n,k) C(n,k) 表示先选出某个 A A A， 2 n − k 2^{n-k} 2n−k 表示在剩下的元素任选，使之包含 A A A。

于是 N = ∑ k = 0 n C ( n , k ) ⋅ 2 n − k = ∑ k = 0 n C ( n , k ) ⋅ 1 k ⋅ 2 n − k = ( 1 + 2 ) n = 3 n N = \sum_{k=0}^{n} C(n,k)\cdot 2^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} C(n,k)\cdot 1^k \cdot 2^{n-k} = (1+2)^n = 3^n N=∑k=0nC(n,k)⋅2n−k=∑k=0nC(n,k)⋅1k⋅2n−k=(1+2)n=3n

反过来先选 B B B 也是一样的，即 C ( n , k ) ⋅ 1 n − k ⋅ 2 k C(n,k)\cdot 1^{n-k} \cdot 2^k C(n,k)⋅1n−k⋅2k

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