Nim理论初探——编程之美1.12

Nim Game是非常著名的游戏，它的变体也很多，在《编程之美》上也用了三章讲解它。 Wikipedia 上说的很详细，本文则是在对wiki上的内容阅读后的个人理解。

游戏概述：

有M堆石子，每堆石子的个数不一定相同，Bob和Alice交替取石子，只能在一堆石子上取，取的数目任意，但不能为0，也不能大于此堆石子的数目。获胜的判定有两种：一种是谁先把石子去完谁获胜，这种叫Normal Play；另一种是最最后把石子取完谁输，这种叫Misere Play。

假设有M堆石子，（H1,H2...HM），XOR(H1...HM) = X，我们的目标是将（H1,H2...HM）变为（0,0...0），即XOR()=0，那么我们说任何XOR()=0的情况都是“安全状态”，对于Normal Play来说，取石子的那个人都想让自己取完石子后，石子堆为“安全状态”。

存在两个定理：

任何“不安全状态”都可以通过一次取石子变为“安全状态”
任何“安全状态”都通过一次取石子只能变为不安全状态

所以，在Normal Play情况下，初始状态很重要，如果初始状态为“不安全状态”，Bob获胜（先取者获胜），否则Alice获胜。

那在Misere Play情况下又怎么样那，先看一下两个特殊情况：

所有的堆的石子都是1，且有偶数个堆，那么Bob一定获胜
所有的堆的石子都是1，且有奇数个堆，那么Alice一定获胜

好的，任何取石子者都希望自己去完后，存在上面“2”提到的情况——所有的石子堆都不大于2，且有奇数个大小为1的堆。

那么先取者Bob怎样可以使自己获胜呢：

如果一开始就是上面“1”提到的状态，Bob必输
如果一开始就是上面“2”提到的状态，Bob必胜
不是“1”“2”状态，初始状态是“不安全状态”，Bob一开始完全可以按“Normal Play”的方式取石子，当发现可以使石子产生奇数个1时，则不按“Normal Play”的方式去取了，让其变为奇数个1。下面证明一下为什么这样Bob就会获胜：如果Alice想产生一个奇数个1的不安全状态，那Alice一定是从一个安全状态产生一个不安全状态的（因为Bob先取，他总会产生一个安全状态），那么产生奇数个1的安全状态就是“偶数个1”，此时Bob便会再取一个石子，直接产生一个奇数个1的不安全状态，不需要Alice产生
不是“1”“2”状态，初始状态是“安全状态”，Bob怎么取都会是一个“不安全状态”，Bob想让此状态为奇数个1，但可以达到此状态的安全状态是偶数个1，这是“1”提到的情况，矛盾。因此Bob不可能产生奇数个1，因此决定权在Alice手上了，Alice会获胜。

假设初始状态是不安全状态，Bob要怎样取石子才能产生一个安全状态呢？方法很简单。

我们假设XOR()=X，将X于每一堆石子的数量T做异或操作，如果结果小于T，则Bob将取此堆的石子，取得个数为T-T^X。

那么《编程之美》的扩展第一题也就解决了。

下面的代码实现了上面讲的内容：

public class NimClass {private int XOR(int[] heaps){int ret = 0;for(int i=0;i<heaps.length;i++)ret ^= heaps[i];return ret;}private int max(int[] heaps){int ret =0;for(int i=0;i<heaps.length;i++)if(heaps[i]>ret)ret = heaps[i];return ret;}/** If Pair.nb_remove is zero , it means that this taker will lose.*/public Pair nim( int[] heaps, boolean misere){int X = XOR(heaps);if(X==0){/* The safe state */if(max(heaps) > 1)return new Pair (-1,0);else{for(int i=0;i<heaps.length;i++)if(heaps[i]==1){heaps[i]=0;return new Pair (i,1);}return new Pair (-1,0);}}else{/* The unsafe state */int chosen_heap=-1,nb_remove=-1;for(int i=0;i<heaps.length;i++)if((heaps[i]^X)<heaps[i]){chosen_heap = i;nb_remove = heaps[i]-(heaps[i]^X);heaps[i] = heaps[i]^X;break;}boolean hasTowMoreHeap = false;int oneHeapNum = 0;for(int i=0;i<heaps.length;i++)if(i!=chosen_heap){if(heaps[i]>1){hasTowMoreHeap = true;break;}else if (heaps[i]==1) oneHeapNum++;}if(misere){if(hasTowMoreHeap)return new Pair (chosen_heap,nb_remove);else{heaps[chosen_heap] = 1;return new Pair (chosen_heap, nb_remove-1);}}else{return new Pair (chosen_heap, nb_remove);}}}class Pair{int chosen_heap ,nb_remove ;public Pair(int chosen_heap, int nb_remove){this.chosen_heap = chosen_heap;this.nb_remove = nb_remove;}}}

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