CF632E Thief in a Shop 题解

思路

题目要问的，是 kkk 个物品最多能组成多少种不同的权值之和（每个数量不限）。

正着求当然很麻烦，但是反着解相对来说就简单多了。

所以我们可以将题目转化为：

求凑某个权值和最少要多少物品，如果最少个数比 kkk 要大，则这个权值和就无法凑出。

题目分析到这里，就不难看出是背包 dp 了。

代码实现

状态转移

我们用 dpidp_idpi 表示凑出权值和为 i 最少需要多少件物品。

01 背包问题这里不多阐述了。

则可以得到状态转移方程为：dpi←min⁡dpi,dpi−aj+1dp_i \gets \min dp_i,dp_{i-a_j}+1dpi←mindpi,dpi−aj+1。

（j 为从 1 到 nnn 个物品中满足 aj≤ia_j \le iaj≤i 的物品。）

优化

这里做一个简单的优化：

我们让权值最小的物品的权值为 0，其余的物品权值都减去最小的权值。

这样，最后当 dpi<kdp_i < kdpi<k（即数量不足）时，

可以用权值最小（刚刚权值清 0）的那个物品补上。

同时，在 dp 的时候我们也不用顾忌到数量要求了。

代码

（更多细节请见代码及注释。）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 1005;
int n, k;
int limi;
int a[maxn], dp[maxn * maxn];int read ()
{int x = 1, s = 0;char ch = getchar ();while (ch < '0' or ch > '9') {if (ch == '-') x = -1; ch = getchar ();}while (ch >= '0' and ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar ();return x * s;
}int main ()
{memset (dp, 1e4, sizeof dp);//记得初始化 n = read (), k = read ();for (register int i (1); i <= n; ++i) a[i] = read ();sort (a + 1, a + n + 1);int tmp = a[1];for (register int i (1); i <= n; ++i) a[i] -= tmp;//记得是减去 kmp 而不是 a[1] limi = k * a[n];dp[0] = 0;for (register int i (1); i <= limi; ++i)for (register int j (1); j <= n; ++j) if (a[j] <= i) dp[i] = min (dp[i], dp[i - a[j]] + 1);for (register int i (0); i <= limi; ++i) if (dp[i] <= k) printf ("%d ", i + tmp * k);//都要加上 kmp 因为之前减去了 return 0;
}

感谢阅读~

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