1. 前言

最近断断续续重温了一些数学书，有高等数学，也有初等数学。

有时候，觉得数学才是世界上最美的东西，但有时候又觉得数学很高冷，不接地气。

不过，前段时间工作中用到了最小二乘法，下面记录一些用法。

2. 最小二乘法

根据维基百科的说明：

最小二乘法 （又称 最小平方法 ）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用 最小二乘法 可以简便地求得未知的数据，
并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

看了之后一头雾水对不对，是的，任何人看着一段不知道在说啥。下面举个例子，就很好懂了。

针对线性最小二乘法即直线拟合，如下图（来自维基百科）所示：

透过这张图，我想大家一定能理解，我们用最小二乘法来做什么事情，即：

根据已有的数据（图中的点），来做出一条最贴近数据发展趋势的直线。

通过这条直线，我们可以对未来的数据进行预测，因为基本会落在这条直线附近。

当然了，最小二乘法不只是直线，还可以是曲线，本文不讨论。

3. 求解直线方程

我们现在要做的，就是求解直线方程。

假设已知有N个点，设这条直线方程为： y = a·x + b

其中，a和b的计算公式如下：

本文对于推导过程不在赘述，网上都有。

4. 算法代码和效果演示

算法代码如下：

//-------------------------------------------------------------
//功能 : 最小二乘法直线拟合 y = a·x + b，计算系数a 和 b
//参数 : x -- 辐照度的数组
// y -- 功率的数组
// num 是数组包含的元素个数，x[]和y[]的元素个数必须相等
// a,b 都是返回值
//返回 : 拟合计算成功返回true, 拟合计算失败返回false
//作者：Long
//-------------------------------------------------------------
bool leastSquareLinearFit(float x[], float y[], const int num, float &a, float &b)
{
float sum_x2 = 0.0;
float sum_y = 0.0;
float sum_x = 0.0;
float sum_xy = 0.0;

try {
for (int i = 0; i < num; ++i) {
sum_x2 += x[i]*x[i];
sum_y += y[i];
sum_x += x[i];
sum_xy += x[i]*y[i];
}
} catch (...) {
return false;
}

a = (num*sum_xy - sum_x*sum_y)/(num*sum_x2 - sum_x*sum_x);
b = (sum_x2*sum_y - sum_x*sum_xy)/(num*sum_x2-sum_x*sum_x);

return true;
}

数据样本：

x：

float temp[96] = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.46667, 11.4667, 31.6, 52.7333, 80.3333, 116.333, 156.6, 199.4, 242.2, 283.4, 329.2, 379.333, 431.333, 482.6, 541, 594.4, 643.533, 692.133, 736.267, 772.667, 810.133, 841.867, 868.2, 892.4, 917.667, 939.8, 954.667, 969, 976.8, 983.4, 987.467, 994.933, 1023.67, 875.2, 873.933, 758.8, 678.2, 515.867, 782.533, 908.8, 779.2, 831.4, 645.533, 734.067, 679.533, 610.267, 565.067, 512.467, 462, 405.2, 354.133, 302, 247.8, 191.533, 140, 94.2667, 57.5333, 25.9333, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 }; // x

y：

float tempy[96] = {0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 0.595, 1.785, 2.57833, 3.927, 5.79233, 7.379, 9.48133, 11.1473, 12.4167, 13.6627, 16.193701, 18.248699, 19.042, 19.042, 19.105301, 16.6383, 17.240999, 14.631, 11.8217, 11.663, 12.155, 15.488, 21.859301, 19.32, 19.042, 19.6133, 21.105, 22.9937, 20.827299, 23.858299, 23.0333, 19.2883, 15.6937, 21.5893, 23.802999, 20.518299, 21.5893, 17.907301, 17.971001, 17.574301, 16.781, 15.5513, 12.3773, 10.2747, 8.60867, 6.86333, 5.39567, 3.88767, 2.856, 2.142, 2.142, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952, 0.952 }; // y

计算结果：

a = 0.0215136

b = 0.608488

效果如下：

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