组合数学 排列 容斥 卡特兰数
目录
不可重复排列
可重复排列
求全排列函数（基本不用）
圆排列
不尽相异元素全排列
二项式定理
常见恒等式
组合分析法
容斥原理
错排问题
递推推导
通项推导
斐波那契数列
性质
卡兰特数（重点）
例题
特别鸣谢徐哥的PPT和精彩讲解
不可重复排列
从n个物品中不可重复的取出m个物品
n：待排列数组的长度
cur：已经排列的元素个数
A[]：存储排列后的元素
vis[]：标记数组
当前元素选择完之后记得恢复变量
可重复排列
从n个物品中可重复的取出m个物品
last表示上一个选择，vis_P表示pick，当前元素挑选数量，vis_A表示当前元素挑选上限
求全排列函数（基本不用）
next_permutation和prev_permutation()
圆排列
循环排列（circular permutation）亦称圆排列、环排列等。是排列的一种，指从n个不同元素中取出m（1≤m≤n）个不同的元素排列成一个环形，既无头也无尾。两个循环排列相同当且仅当所取元素的个数相同并且元素取法一致，在环上的排列顺序一致。
这4种取法一致，排列顺序一直，只能算一种
不尽相异元素全排列
10步走完：10步一级台阶
9步走完：1步两级，8步一级 9！/（8！*1！）
……
6步走完：4步两级，2步一级 6！/（4！*2！）
5步走完：5步两级台阶
4，3，2，1无法完成
二项式定理
杨辉三角↑
常见恒等式
这个意思就是Cnk，n是下标k是上标，CSDN的公式栏我找不到……
高中的式子，套公式恒等
套公式恒等
x=1带入即可
组合分析法
容斥原理
要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
例题
给定r，n求[1，r]内与n互素的个数有多少个？
i<<tail是状态压缩，比如k的质因子有2,3,5,7，那么i左移4位，为10000，这4个0中每有1个变成1就代表着选中了一个质因子，比如10001为选中了2,11101选中了2,5,7，具体实现为(i>>j)&1
cnt是奇数相加，偶数相减，图片打错了
这个是容斥原理，你遇到2相加了，遇到3相加了，遇到2*3就应该减回来
错排问题
递推推导
当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：
⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；
⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；
综上得到 D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
通项推导
正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；
当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列； （这时n!-n!=0，排列被减完了）
但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上n!/2! [(n-2)!*C(n,2)=n!/2!]；
在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除n!/3!； ……；
继续这一过程，得到错排的排列种数为
D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!
即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].
板子题https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2048
斐波那契数列
性质
不用背
卡兰特数（重点）
https://www.luogu.com.cn/problem/P1044
例题
https://www.luogu.com.cn/problem/P1157（递归）
https://www.luogu.com.cn/problem/P7566（排列组合）
https://www.luogu.com.cn/problem/P3197（容斥）
https://www.luogu.com.cn/problem/P1641（卡兰特数）
https://www.luogu.com.cn/problem/P4071 (错排)
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